Forum OLIFIS

Ciao a tutti,
quest'anno vorrei provare ad entrare alla Normale, così ho cominciato a fare un po' di problemi degli anni scorsi. Ne ho trovato uno che, secondo me, può essere interessante (Anno 1975/6 - n. 2):

Si consideri una sbarra omogenea di sezione quadrata di lato 1 cm e lunghezza 100 cm, libera di ruotare attorno ad un estremo e soggetta alla gravità. Essa viene abbandonata da ferma con un certo angolo rispetto alla verticale. Sotto l’effetto della gravità essa ruota e dopo un tempo $t_{1}$ passa per la verticale. Si ripete l’identico esperimento con una sbarra simile alla prima, dello stesso materiale, ma di dimensione metà, cioè sezione di lato 0,5 cm e di lunghezza 50 cm. Dopo un tempo $t_{2}$ , pure essa passa per la verticale. Che
relazione esiste tra $t_{1}$ e $t_{2}$ ?

La soluzione a cui ho pensato è la seguente:

Inizio calcolando il volume di ciascuna sbarretta per calcolare poi la massa, lasciando come incognita la densità, che è uguale per le due sbarrette.

La massa della prima sbarretta, quindi, è $m_{1}=dV_{1}=d*10^{-4}$ .
La massa della seconda sbarretta, invece, è $m_{1}=dV_{2}=d*1,25*10^{-5}$

La velocità angolare è diversa, mentre il momento di inerzia è uguale, quindi considerando:
$M=mr\omega$ si ha che $d*10^{-4} * \frac{2\pi}{T_{1}} * 1 = d*1,25 * 10^{-5} * \frac{2\pi}{T_{2}} * 0,5$

Da qui ottengo che $\frac{T_{1}}{T_{2}}=16$ .

Cosa ne pensate?

Il momento di inerzia di una sbarra sottile uniforme di massa $M$ e lunghezza $L$ calcolato rispetto a un estremo è $I=\frac{1}{3}ML^2$ , quindi le due sbarre non hanno stesso momento di inerzia.
Le forza agenti sulla sbarretta sono il peso e la reazione del perno, ma il momento di quest'ultima è ovviamente nullo se calcolato rispetto al perno. In generale, in un generico istante l'accelerazione $\alpha$ e l'angolo $\theta$ con la verticale rispetteranno l'equazione:

$\frac{1}{3}ML^2 \alpha=Mg \frac{L}{2}sen\theta$

Da cui ricavi in particolare $\alpha \propto L^{-1}$ , quindi dato che $t \propto \alpha$ ottieni $\frac{t_2}{t_1}= \frac{1}{\sqrt{2}}$

Grazie mille, in effetti avevo dei dubbi sul momento angolare. In questo caso, quindi, lo spessore delle sbarrette non ha nessun impatto sul momento angolare, giusto?

Non incide su $\alpha$ e quindi presumibilmente sulla velocità angolare, ma incide sul momento di inerzia, e quindi sul momento angolare

Grazie mille ancora! Questa parte dovrò ripassarla bene, mi sa

Buona giornata!

Scusatemi, ma non mi sono chiari due punti.
Se t è proporzionale ad 1/L, allora il rapporto non dovrebbe essere 2?
Inoltre perché il secondo membro dell'uguaglianza è MgL/2senθ e non MgLsenθ?

Perchè ho sbagliato a digitare, la relazione corretta è $t \propto \alpha ^{- \frac{1}{2}}$

Il centro di massa è ovviamente il centro geometrico della sbarra, dato che è omogenea. Quindi si trova a distanza $\frac{L}{2}$ da ogni estremità.

Giusto, il centro di massa!

Invece non riesco a capire da dove ricavi la proporzionalità tra t ed a...

Per analogia con la caduta di un grave

Grazie!

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SNS 1975/6 - Problema 2 (Sbarre che ruotano)

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