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Al tempo $t = 0$ un secchio di massa trascurabile contiene una massa $M$ di sabbia. È connesso ad una parete da una molla di massa nulla che esercita una forza costante, cioè indipendente dall'allungamento della molla, $T$ . Non c'è attrito con il suolo e la distanza iniziale dalla parete è $L$ . Si indichi con $x(t)$ la distanza dal muro in funzione del tempo, e con $m(t)$ la massa del secchio (della sabbia in esso contenuta) sempre in funzione del tempo. Il secchio viene rilasciato e, mentre si avvicina al muro, perde sabbia al ritmo $\frac{\mathrm{d} m}{\mathrm{d} x} = \frac{M}{L}$ (l'asse x punta in verso opposto al muro e dunque $\mathrm{d} x$ è negativo e di conseguenza anche $\mathrm{d} m$ lo è); il secchio, quando arriva a toccare il muro, è vuoto.
1)Trovare l'energia cinetica del secchio in funzione di x e calcolarne il valore massimo;
2)Trovare la quantità di moto del secchio in funzione di x e calcolarne il valore massimo.

Ecco la mia soluzione!

Dato che $\frac{dm}{dx}=\frac{M}{L}$ si può scrivere $m(x)=\frac{M}{L} x$

Applicando la seconda legge di Newton si ha: $-T=\frac{M}{L} xa$ isolando l'accelerazione $a(x)=\frac{-LT}{Mx}$

Essendo che $a=\frac{dv}{dt}$ e $v=\frac{dx}{dt}$ eliminando $dt$ si può scrivere $a=\frac{vdv}{dx}$

Unendo le due equazioni trovate per l'accelerazione: $vdv=\frac{-LT}{Mx}dx$ , integrando:

$\int_0^v{vdv}=\int_L^x{\frac{-LT}{Mx}dx}$

Si trova: $v^2=\frac{-2LT}{M}ln(\frac{x}{L})$

Si ha dunque: $K(x)=-Tx ln(\frac{x}{L})$ mentre $p(x)=\frac{M}{L} x \sqrt{\frac{-2LT}{M}ln(\frac{x}{L})}$

Derivando ho trovato come massimi: $x_K=\frac{L}{e}$ e $x_p=\frac{L}{\sqrt e}$

Giusto, direi che la staffetta é tua

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84. Secchio bucato

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