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Problema non banalissimo, ma fattibile :

Una boccia di massa e raggio rotola verso sinistra senza slittare a velocità . Incontra un muro verticale. Se il coefficiente d'attrito fra muro e boccia è molto alto, determinare la velocità (in funzione di ) con la quale la boccia si muove rispetto al muro dopo un grande intervallo di tempo. Il coefficiente di attrito fra palla e suolo è e tutti gli urti sono da considerare elastici.

La quantità di moto durante l'urto si inverte, ma contemporaneamente per l'attrito tra boccia e muro, il momento angolare varia, infatti si sviluppa un momento sulla boccia. Quindi la boccia viene ad avere due nuove velocità: una orizzontale uguale a ma di verso opposto, e un'altra verticale. Così facendo la sfera tornerà indietro rimbalzando. Da un punto di vista quantitativo questo si esprime come:

dove è la forza d'attito che si sviluppa nel momnto dell'urto con la parete, pari a dove F è la forza con cui la boccia impatta contro il muro, supposta costante. Diciamo poi:

Dato che l'energia cinetica si conserva avremo che

Da cui con alcuni passaggi si trova


Mi sembra molto strano come risultato, perchè ammette soluzioni immaginarie, e inoltre se cerco un'altro metodo di soluzione come questo:

Dove è la velocità verticale, e poi compongo le velocità col teorema dipitagora, trovo che

è il coefficiente di attrito dinamico fra boccia e terreno. Quello fra boccia e muro è "molto elevato", il che ha il suo significato. Comunque è anche intuitivo che non deve comparire nella soluzione.

f.o.x ha scritto:... il momento angolare varia, infatti si sviluppa un momento sulla boccia...

Il momento angolare però si conserva rispetto ad un punto.

f.o.x ha scritto:... e poi compongo le velocità col teorema di pitagora ...

Beh, se la velocità deve essere calcolata dopo un lungo intervallo di tempo, direi che la si può direttamente ignorare

Il momento angolare però si conserva rispetto ad un punto.

L'unico punto significante che mi viene in mente è quello di contatto tra muro e boccia, ma anche se si consevasse rispetto ad esso sarebbe un pò complicato trovare il momento angolare di un corpo che ruota non rispetto ad un asse ma ad un punto.

direi che la si può direttamente ignorare

Dopo l'urto con la parete la boccia torna indietro rimbalzando, e ogni volta che tocca terra l'attrito tra suolo e boccia produce uno slittamento e la conseguente perdita d'energia. Dopo un certo numero di rimbalzi la boccia tornerà a rimbalzare in avanti, e urterà nuovamente con il muro, tornando a rimbalzare all'indietro ad un'altezza maggiore. Questo processo andrà avanti finchè la velocità orizzontale non sarà nulla, mentre rimarrà solo la componente verticale. Quindi mi sembra che sia proprio questa la componente fondamentale da calcolare, quindi dovrei trovare in funzione di la velocità verticale massima che raggiunge la boccia, o forse (cosa molto probabile) non ci ho capito niente

Beh, se, come dici, la boccia, dopo un lungo intervallo di tempo, possedesse soltanto una velocità verticale, non avrebbe senso parlare di allontanamento

Comunque, il problema (che per la cronaca viene dalle Olimpiadi di Polonia) l'ho risolto così:

la boccia si muove verso sinistra con velocità : impatta contro il muro. Il coefficiente di attrito statico fra queste due superfici è molto alto, per cui non ci sono slittamenti. Ora, il momento angolare rispetto ad un asse scelto è dato dal momento angolare di un corpo che ruota attorno al proprio asse (parallelo a quello scelto prima) più il prodotto vettoriale fra la distanza dei due assi e la quantità di moto del corpo. Allora, nel nostro caso ne viene fuori che, poichè l'asse della boccia e l'asse passante per il punto di impatto sono alla stessa "altezza" da terra, il momento angolare un istante prima dell'urto è dove (il momento di inerzia di una sfera piena). Per la conservazione del momento angolare , dove e sono momento di inerzia e velocità angolare un istante dopo l'urto.

Ma è calcolato rispetto al punto di contatto, per cui, per il teorema degli assi paralleli, .

Ne viene fuori, facendo un pò di calcoli, che la boccia avrà una , che è la velocità verticale posseduta dal cdm un istante dopo l'urto, quindi una e sull'asse x un semplice rimbalzo elastico. La boccia, appena dopo l'urto, sta ruotando in senso antiorario.

Ogni volta che impatta al suolo, la forza di attrito fa diminuire e la , finchè la boccia comincerà a ruotare in senso orario. Frattanto credo che sull'asse y ci siano rimbalzi elastici. Per cui ora posso impostare l'equivalente di per la rotazione e scrivere



dove è la velocità angolare dopo l'urto più la velocità angolare finale, infatti considero la variazione in modulo. è la variazione in modulo di velocità orizzontale. Sostituisco per avere il tutto in , cioè



che risolto porta a . Sono curioso di sapere se il problema si può risolvere facendo considerazioni sull'energia.