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Una catena di lunghezza L e densità $\sigma$ Kg/m è mantenuta nella posizione mostrata in figura, con un'estremità attaccata ad un supporto. Si assuma che solo una parte di corda di lunghezza trascurabile parta da sotto il supporto. La corda viene rilasciata. Trovare la forza che il supporto esercita sulla corda, in funzione del tempo.

Provo la mia soluzione

Al tempo $t=0$ la forza che bisogna applicare è nulla dato che la parte di catena sottostante al supporto è trascurabile, in un intervallo infinitesimo $dt$ si sposta sotto il supporto una parte di catena con massa $dm=\sigma v dt$ , la sua variazione di quantità di moto vale $dp=\sigma v^2dt$ .
Si ha dunque: $F=\frac{dp}{dt}=\sigma g^2 t^2$

No è sbagliato.
Per ora non darò indizi, perché magari ci vuoi riprovare da solo o c'è qualcun'altro che ci vuole provare.
Se poi ti interessa sapere dov'è l'errore nel tuo procedimento, chiedi pure.

Provo a correggermi, credo di essermi dimenticato la forza peso, infatti la forza netta data da $\frac{dp}{dt}$ equivale alla forza applicata da supporto meno la forza peso, quindi:
$F=\frac{dp}{dt}+P$ dove $P$ è dovuto solo alla parte di catena sottostante il supporto. Si ha dunque:
$F=2\sigma g^2t^2$

Giusta l'idea di sommare il contributo dovuto a $\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} t}$ e quello dovuto a $P$ , ma il risultato è ancora sbagliato.

Solo un suggerimento: stai attento alle velocità.

Spero sia la volta buona

$F=\frac{3}{2}\sigma g^2 t^2$

Secondo me è una cosa del tipo

$F=\frac{3}{4}\sigma g^2 t^2$

Risposta giusta Flaffo. La staffetta è tua, ma ora dovresti mettere anche il procedimento.

La forza applicata alla catena dal supporto è responsabile di due cose:
1) regge la parte di catena direttamente sottostante
2)frena i pezzetti di corda $dx$ che cadono ad una velocità $\dot {x}$ .
Indichiamo con $x$ la differenza tra l'altezza della corda iniziale e quella al tempo $t$ . In un dato istante la lunghezza della corda direttamente sotto il supporto è $\frac{x}{2}$ poiché la corda si piega e viene "raddoppiata"(penso che l'errore di federico sia nell'aver considerato $x$ al posto di $\frac{x}{2}$ ). Il primo contributo è, allora, dato da:

$\displaystyle F_1=\frac {1}{2}\sigma g x$ .

Il contributo dovuto all'arresto è invece:

$\displaystyle F_2=\frac {dp}{dt}=v \frac {dm}{dt}=\dot {x} \frac {\sigma d\frac {x}{2}}{dt}=\frac {1}{2}\sigma{\dot {x}}^2$

Abbiamo, inoltre che:

$x=\frac {1}{2}gt^2$

$\dot {x}=gt$

Sommando i due contributi e sostituendo per $x$ e $\dot {x}$ :

$\displaystyle F=F_1+F_2=\frac {1}{2}\sigma g \frac {x}{g}+ \frac {1}{2}\sigma{\dot {x}}^2= \frac {1}{4}\sigma g^2 t^2+ \frac {1}{2}\sigma g^2 t^2$

$F=\frac {3}{4}\sigma g^2 t^2$

Per risolvere questo problema c'é anche un secondo modo, più veloce e forse più elegante.. lo lascio a chi ci vuole provare

L'errore che ho fatto è proprio quello che ha detto Flaffo.. Provo a proporre un secondo metodo ache se non so sia quello cui si riferisce Flaffo, infatti alla fine non è troppo diverso

Al tempo $t$ al di sotto del supporto vi è un tratto lungo $\frac{gt^2}{4}$ al di sopra ovviamente $L-\frac{gt^2}{4}$

Il momento totale del sistema è $p=\sigma(L-\frac{gt^2}{4})v$ dove $v=-gt$

Considerando le forze che agiscono su tutto il sistema:
$F-\sigma Lg=\frac{dp}{dt}$ dove $\sigma Lg$ è il peso dell'intera catena

Svolgendo i calcoli si ha come sopra $F=\frac {3}{4}\sigma g^2 t^2$

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82. Caduta di una corda

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