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Ecco che arriva l'80esimo problema della staffetta!

Una sferetta di massa M che si muove con velocità Vo su un piano privo di attrito, colpisce centralmente la prima di due sferette identiche di massa m collegate tra di loro da una molla di costante elastica k , inizialmente ferme e allineate alla direzione del moto di M. L’urto è istantaneo e perfettamente elastico. Valutare il valore minimo della massa M (in funzione dei parametri del sistema) affinché la prima sferetta di massa m venga colpita anche una seconda volta da M. Risolvere numericamente l’esercizio assumendo: Vo=1m/s, m=2kg, k=1kg/s^2.

Mettiamo la direzione positiva dell'asse x da sinistra verso destra. La massa arriva da sinistra, e l'urto avviene in .
Indichiamo con la massa urtata da , e quella all'altro capo della molla. Sia inoltre la lunghezza della molla.
Partiamo con il considerare l'urto tra e la massa . Assumendo l'urto istantaneo si può trascurare la forza elastica durante esso, quindi nell'istante dopo l'urto le velocità saranno rispettivamente:






L'insieme delle masse e con la molla può essere considerato come un unico corpo che ha urtato con , per tanto il centro di massa (che coincide con il centro della molla, siccome ) si muove ad una velocità pari a



Poniamo ora nel sistema di riferimento del cento di massa delle 2 masse : esso è inerziale, dato che quest'ultimo si muove a velocità costante. Tutte le velocità si trasformano nel seguente modo , quindi




Le masse si stanno muovendo simmetricamente rispetto al centro di massa, quindi entrambe seguiranno un moto armonico intorno le rispettive posizioni di equilibrio. Si vuole trovare ora l'ampiezza del moto: si osserva che nell'istante immediatamente successivo all'urto la molla è in posizione di riposo quindi l'energia potenziale elastica è nulla. Quando il moto è ad ampiezza massima è l'energia cinetica ad essere nulla, per tanto






Inoltre si trova che la pulsazione del moto armonico è , perché quando una massa è spostata di rispetto al punto di equilibrio la molla è compressa di . Si può scrivere l'equazione del moto ( nell'istante dell'urto) di nel sistema di riferimento del c.d.m.:

dove la fase è inserita perché il moto parte dalla posizione di equilibrio e si avvicina al centro di massa. Il termine è inserito perché la posizione di equilibrio di $m_1$ si trova a , nel sistema di riferimento del cdm.
Torniamo nel sistema di riferimento esterno. L'equazione del moto del centro di massa è
dato che all'istante dell'urto il centro di massa si trova spostato di metà lunghezza della molla.

Deve essere inoltre

da cui si trova l'equazione del moto della pallina in questo sistema di riferimento:

sostituendo:
.
L'equazione del moto di dopo l'urto è


A questo punto ho le due equazioni del moto. Non avevo grandi idee su come trovare il minimo , quindi ho sostituito i dati e su Geogebra ho disegnato il grafico delle due funzioni



E facendo variare un po' il parametro ho trovato che il valore minimo è . Se qualcuno ha un metodo migliore per trovare il minimo lo condivida (sempre che tutto quello che sta prima è giusto ) perché questo che ho usato non è un granché.

Io avrei trovato perché il sistema equivale ad una massa metà di m che oscilla attorno al punto inizialmente occupato da m stessa. Operando nel sistema del centro di massa M si allontana dal c.m. stesso. Ho imposto che questo allontanamento in 3/4 di periodo fosse inferiore o al massimo uguale all'ampiezza di oscillazione.

Ho corretto nel mio post iniziale una svista, e non , quindi anche la risposta è cambiata.

rocco ha scritto:Io avrei trovato perché il sistema equivale ad una massa metà di m che oscilla attorno al punto inizialmente occupato da m stessa. Operando nel sistema del centro di massa M si allontana dal c.m. stesso. Ho imposto che questo allontanamento in un periodo fosse inferiore o al massimo uguale all'ampiezza di oscillazione.

Sono d'accordo che il sistema equivale a metà massa che oscilla, ma non su come hai trovato il minimo . Consideriamo un tempo pari al periodo di oscillazione: la massa è tornata nella sua posizione iniziale rispetto al cdm, e supponiamo che la massa si trovi ad una distanza rispetto al punto di equilibrio dell'oscillazione. Se consideriamo l'istante di tempo : la massa si trova a una distanza di , mentre si trova a distanza , rispetto il punto di centrale dell'oscillazione, ma questo vuol dire che si trova tra e , che è impossibile, perché si sarebbero dovuti urtare. Spero di essermi spiegato sul perché non funziona

Se M si trova a 1,1 A vuol dire che si è allontanato + di A il che è il contrario della condizione che ho posto io. Nel sistema del baricentro M va indietro sia rispetto al centro di oscillazione che al cm - che ha una velocità assoluta superiore a quella di M che quindi ha velocità relativa negativa rispetto al cm. Come fa M a entrare fra le le due masse se si muove in direzione opposta rispetto a quella iniziale di m? A me sembra che se mentre m/2 fa un'oscillazione, cioè in un periodo, M non si è allontanato dal punto iniziale (e quindi anche dal c.m.) per più di un'ampiezza, m deve urtarlo di nuovo. Comunque proporrei di far pronunciare Antonio Mele anche perché personalmente non ho tempo di postare il procedimento e poi magari il mio risultato è sbagliato.

Il mio esempio voleva proprio farti vedere che si urtavano , anche se l'ipotesi che avevi imposto per l'urto non era verificata. Infatti, se ho capito bene, tu dici che le 2 masse si urtano solamente se la distanza di dopo il tempo di un periodo è minore o uguale dell'ampiezza. Nell'esempio che ho fatto dopo un periodo , è a una distanza maggiore dell'ampiezza, ma nonostante ciò si urtano comunque.
Mi scuso se prima sono stato poco chiaro oppure se ho capito male quello che volevi dire

Anche io non riesco ad essere chiaro. Mi sembra che non tieni conto che nel sistema cm M va indietro verso sinistra ed m/2 va verso destra con velocità relativa positiva rispetto al baricentro. Ma ho fatto un errore: in tutti i miei interventi quando parlo di periodo va inteso 3/4 di periodo. Per cui il risultato che sottopongo ad Antonio Mele è

La staffetta la vince Rocco!
Il risultato coincide. Muoio dalla voglia di leggere bene le vostre soluzioni, ma sono abbastanza incasinato con gli esami (fortunatamente finisco il 2 luglio)! Rocco, appena puoi, vai con il procedimento!

Ps: sono Francesco Mele, Antonio Mele è il mio gemello ahah

rocco ha scritto:Anche io non riesco ad essere chiaro. Mi sembra che non tieni conto che nel sistema cm M va indietro verso sinistra ed m/2 va verso destra con velocità relativa positiva rispetto al baricentro. Ma ho fatto un errore: in tutti i miei interventi quando parlo di periodo va inteso 3/4 di periodo. Per cui il risultato che sottopongo ad Antonio Mele è

Il mio esempio voleva farti vedere che il tuo risultato precedente () non funzionava in alcuni casi. Il controesempio di prima non funziona più con il tuo nuovo risultato

Quanto al risultato, c'è ancora qualcosa che non mi convince. Cerco di fare un controesempio come quello di prima, ma facendo le cose più chiarezza.
Poniamoci nel sistema di riferimento che ha origine nel punto dove c'è stato il primo urto che si muove alla stessa velocità del del centro di massa delle 2 masse . Il moto della massa più piccala è una semplice oscillazione armonica, la sua equazione è qualcosa del tipo
.
Il blocco ha un'equazione del moto del tipo
, dato che dal nostro punto di riferimento si sta allontanando a velocità costante.

A questo punto tu hai imposto che l'urto avviene solo se
, che porta al tuo risultato anche partendo dalle equazione che ho scritto nel mio primo post.

Qui inizia il controesempio: supponiamo che sia tale che . Inoltre a la massa che oscilla si trova a nella posizione .
Per la condizione che hai imposto l'urto non ci dovrebbe essere stato, dato che la massa si trova a distanza maggiore di una ampiezza dopo tre quarti di periodo.
Nel controesmpio voglio farti vedere che ci sono degli istanti di tempo dove la massa si trova tra le due masse più piccole, il che ovviamente è assurdo, quindi vuol dire che c'è stato il secondo urto.
Consideriamo l'istante di tempo , che ovviamente è precedente a tre quarti del periodo. Dato che il moto è uniforme,la massa ha posizione:



La posizione della massa più piccola è



Si vede che questa cosa è assurda, quindi è impossibile che non ci sia stato un urto, anche se il tuo risultato dice così. Se vuoi prova a sostituire nelle tue equazioni il valore : esso è minore di , ma ti accorgerai che l'urto c'è comunque stato

Spero di essermi spiegato almeno questa volta. Se invece credete che c'è qualcosa che non va in tutto quello che ho detto, aiutatemi a cercare dove sbaglio anche nel mio primo post

Per Arna. No, non è ma cioè interviene la velocità relativa rispetto al cm.
Si può cominciare da qui: l'allontanamento RELATIVO verso sinistra di M in 3/4 di periodo non deve eccedere A (perchè infatti m parte con velocità doppia di quella del cm in direzione opposta verso destra, arriva al punto morto di destra quando ha velocità relativa 0 perchè la sua assoluta è uguale a quella del cm, torna al centro dell'oscillazione da cui è partito con velocità opposta a quella iniziale, si avvia verso sinistra ed è in questo quarto di periodo che deve sbattere sulle spalle di M, lo deve trovare e quindi M non si deve essere allontanato più di A - il quarto quarto di periodo sarebbe inutile perchè M si allontana dal centro ed m vi si avvicina dunque non lo potrebbe incontrare). L'ampiezza A di oscillazione della massa ridotta (m/2) è dedotta dalle equazioni del moto delle due masse m sottraendo alla prima, che dista
(-l/2) dal cm la seconda distante (+l/2) ed ottenendo . Risulta e da cui la relazione
e quindi il risultato. Si deve osservare l'inganno di chi ha steso il testo, come a volte è successo nei problemi sns: per i valori numerici è necessaria solo m, gli altri si elidono ed io ho perso un paio d'ore credendo di aver sbagliato perchè non utilizzavo tutti i dati del testo.

P.S. Sono costretto a scrivere di notte, lunedi c'è la terza prova. Per far guadagnare tempo a tutti chiedo ad Antonio...pardon a FRANCESCO se non sia possibile far postare l'81 ad Arna che in fin dei conti ha "visto" il problema come me.