67. Spaghettificazione

[CaptainJohnCabot]

Il noto fenomeno ipotetico della 'spaghettificazione' consiste nella deformazione di un oggetto in orbita attorno ad un buco nero per differenza di attrazione gravitazionale sulle sue parti.

Sia il raggio di Schwarzschild del buco nero e la distanza orbitale dell'oggetto.
Si considerano due parti dell'oggetto di masse e , tali che orbita di una distanza più all'interno del centro di massa dell'oggetto e ad una distanza più all'esterno.

1. Trovare una formula per la 'tensione' fra le due parti dell'oggetto quando e .

2. Sia l'oggetto un astronauta in una navicella, siano le sue orecchie. Con , , e , calcolare la tensione fra le due orecchie. Cosa succede allo sfortunato astronauta?

3. (Bonus) Trovare una formula per la 'tensione' fra le due parti dell'oggetto quando e

[Flaffo]

Ho paura per ciò che succederà all'astronauta..
In ogni caso, la distanza orbitale si prende rispetto al raggio di Schwarzschild o rispetto al centro del buco nero?
Poi, abbiamo un dato di troppo tra e ..

[CaptainJohnCabot]

Ho modificato il problema, semplificando leggermente la prima parte e cambiando un po' la notazione. Scusatemi ma non riesco ancora bene a tarare le difficoltà dei problemi delle staffette

Non so bene quale sia la difficoltà del punto 3, non serve quindi risolverlo per continuare la staffetta. Se però qualcuno dovesse trovare delle soluzioni sarei curioso di vederle per provare a compararle con la mia bozza

Per Flaffo:
La distanza orbitale, ora r, è presa dal centro del buco nero. E si, c'era anche un dato in più . Normalmente questo può accadere nei problemi però dato che ti dava fastidio l'ho tolto, così ora ti tocca fare un passaggio in più

[Flaffo]

Primo punto
Consideriamo un corpo di lunghezza che stia cadendo verso un buco nero di raggio di massa :
.
Quando si trova a distanza da centro del buco nero, è sottoposto ad una forza gravitazionale
da cui Che agisce sul centro di massa B.
I due estremi sono sottoposti ad accelerazioni:





Mentre nel baricentro B vi è una corrispondenza tra la forza applicata e accelerazione generata, questo non accade negli altri punti. Qui, infatti, l'accelerazione tende a rimanere la stessa che si ha nel baricentro ( il corpo è rigido e tutti i suoi punti si muovono in maniera solidale), mentre la forza risulta diversa. So determinano pertanto delle tensioni interne che tendono a spaghettificare il corpo. Calcoliamo l'accelerazione differenziale (e quindi anche la corrispondente forza mareale) a cui è sottoposto il punto A.




Nell'ipotesi che le dimesioni del corpo siano trascurabili rispetto alla distanza che lo separa dal centro di attrazione:



In conclusione, sostituendo per M:


Punto 2
Sostituendo:
T=1406

[1998marcom]

Salve ragazzi, velocissimo dubbio, ma il corpo non era in orbita? Intendo, forza centrifuga? A me viene diverso se la considero.
(poi magari ho solo sbagliato i conti )

[Flaffo]

Già, e come al solito non leggo mai attentamente
in questo caso, però, le tensioni ai due estremi sarebbero diverse, o no?

[1998marcom]

Non credo, se la "corda" è di massa trascurabile. Dopotutto, terzo principio dinamica abbastanza easy e si dimostra. Piuttosto a conti fatti a me viene una tensione pari alla metà della tua, a causa della forza centrifuga.

[CaptainJohnCabot]

Allora, il procedimento riportato da Flaffo è diverso da quello che ho seguito io, e quindi presumibilmente sbagliato ; chissà forse è più probabile che abbia sbagliato io e che il libro da cui ho preso spunto per l'esercizio sia fatto male, dato che Flaffo è sempre impeccabile

Comunque ora modifico il testo per specificare che l'oggetto è in orbita.

Per marcom:
Il procedimento che ho seguito io (dovrebbe portare a quella che sperabilmente è la soluzione corretta ) partiva proprio come quello che hai esposto. Tuttavia il risultato riportato nella soluzione ufficiale è maggiore di quello di Flaffo, quindi se a te viene metà dovresti aver sbagliato qualcosa. Se ti va prova a ricontrollare i calcoli e a postare il procedimento così ne possiamo discutere.

[1998marcom]

Io ho ragionato così: le forze in gioco sono due e sono complessivamente in equilibrio: e (gravità e centrifuga)
Siano 1 e 2 le componenti del corpo, ovvero le due masse. Quindi:



Imponiamo allora che:


dove



mentre la troviamo con la legge di gravitazione univerale per ciascuna massa. Approssimando per viene fuori una roba del tipo:



Dopo modifico e faccio i passaggi intermedi appena ho tempo

[CaptainJohnCabot]

Per marcom
Temo che sia sbagliato anche il tuo risultato, anche se il procedimento è giusto nella parte iniziale.
In caso se nessuno posta altre soluzioni entro qualche giorno inizio a dare qualche hint, a meno che non vogliate demolirlo da soli
A me era servito un aiutino