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Rieccoci con la staffetta

Due gradi lastre parallele conduttrici, separate da una distanza , sono caricate cosicché il loro potenziale è portato a e a . Una piccola sfera conduttrice di massa e raggio (con ) si trova alla stessa distanza da entrambe le lastre ed è sospesa tramite un filo di lunghezza messo a terra in modo che il potenziale della sfera sia sempre . Quando è sufficientemente piccolo, la sfera è in equilibrio stabile (vedere la figura).

Per quali valori di la sfera è in equilibrio instabile?

Da giovincello tento di rispondere

Nota la capacità della sfera , supponiamo che la pallina si sposti a destra di una distanza infinitesima . Ne approfittiamo per definire come positivi tutti i vettori verso destra (stiamo considerando solo vettori orizzontali, dell'equilibrio verticale c'è poco da dire e non ci riguarda).
Poiché il potenziale della sfera rimane a 0, sfruttando le relazioni (dove con V si intende il potenziale dovuto alla "posizione" della sferetta, e otteniamo che:


per abbiamo che mentre . Per un equilibrio instabile deve accadere che . Poiché:
per che tende a 0


Ne ricaviamo che per un equilibrio instabile deve accadere che:


Fiaccato dal tex, spero di averci azzeccato

Bravo, ragionamento giusto
Però attento che il campo elettrico generato dalle lastre (uniforme) è:

Quindi il risultato finale è:



È interessante il fatto che la sfera inizialmente scarica, quando si sposta verso destra dalla posizione di equilibrio, al fine di mantenere potenziale nullo, prelevi una carica da terra, caricandosi positivamente. Se, invece, viene spostata a sinistra, verso una zona a potenziale maggiore, la sfera si carica negativamente. In entrambi i casi la sfera continuerà a muoversi verso la lastra di segno opposto se la forza elettrica ( legata alla differenza di potenziale) supera la forza di richiamo dovuta alla forza peso.

Domanda bonus:Tenendo conto dell'intervallo calcolato nel punto 1, si dica se il moto del pendolo è armonico o no dimostrandolo.

Provo a rispondere, sperando sia giusto

Affinché la sferetta non continui a spostarsi verso la lastra è necessario che l'equilibrio sia stabile, quindi:




Posso scrivere:



Trovo che:



Il moto del pendolo è armonico di pulsazione:

Bravo!!
La staffetta è tua