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Il ritorno della staffetta...

Ecco il problema:

Stimare la massima altezza di una montagna sulla Terra.

Questo quesito potrebbe essere noto a molti dato che continuo a trovarlo ovunque , comunque poiché credo meriti di figurare nella staffetta ho deciso di postarlo comunque

Sotto trovate la fonte e i bonus se avete voglia di approfondire

Buon problema a tutti


Bonus 1: come mai il risultato numerico viene (o potrebbe venire chissà ) di molto maggiore rispetto alla massime altezze effettivamente raggiunte.

Bonus 2: provare a svolgere gli stessi calcoli per trovare la massima altezza di una montagna su pianeti diversi dalla Terra (Marte ad esempio ? )

Il problema è il P134 da '200 Physics Puzzling Problems', ma è simile anche ad uno dato al test di ammissione alla SNS del 2015 (credo )

Modelliamo la montagna come una piramide a base quadrata.
L'energia necessaria a fondere uno strato di altezza d e area di base A sarà :

Questa energia deve provenire dalla diminuzione dell'energia potenziale della montagna.
Inizialmente il centro di massa della montagna si trova ad un altezza:

Mentre dopo che lo strato d si è fuso:

Perciò il centro di massa si abbassa di un altezza:

Allora si ha una diminuzione di energia potenziale relativa alla montagna di:

La roccia non fonderà sotto il peso della montagna solo se la diminuzione di energia potenziale dovuta alla fusione di un strato d è minore dell'energia necessaria per fondere completamente tale strato:

Ovvero:

Il risultato ora dipende molto dal valore che attribuiamo al calore latente di fusione per la roccia in generale. Sicuramente esso è dell'ordine di e l'altezza massima di una montagna sarà quindi compresa tra:

Per il Bonus 1:
Il risultato viene sicuramente maggiore della montagna più alta sulla terra. Tuttavia una montagna non è esattamente a forma di piramide e se la modelliamo come un cubo, ad esempio, il limite di altezza viene ora compreso tra 4km e 40km. Inoltre non si è considerato il fatto che un solido si comprime (anche considerevolmente) se sottoposto a grandi pressioni. Tale proprietà è espressa dal 'Bulk Modulus' (spero che qualcuno possa approfondire questo aspetto )
Per il Bonus 2:
Basta prendere come g, nella formula finale, il valore dell'accelerazione di gravità su Marte. Ovviamente il limite dell'altezza di una montagna risulterà maggiore, come dimostra l'esistenza del monte Olympus alto 26km

Perfetto come sempre Flaffo, ti passo il testimone