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Ciao! Ultimamente ho un po' di problemi con le carrucole...Ancora una volta ho bisogno del vostro aiuto per chiarirmi le idee..

Prendiamo in considerazione una semplice carrucola su cui sono in equilibrio due corpi dotati di una certa massa m e collegati mediante un filo che passa intorno alla carrucola.

Si consideri ora un tratto infinitesimo di filo a contatto con la carrucola.
Su questo agiscono tre forze esterne: la forza di tensione diretta verso l'alto sull'estremità superiore del tratto di filo, la tensione verso il basso agente sull'estremità inferiore e la forza normale che esercita la carrucola che si può pensare applicata nel punto medio dell'arco di filo.
La risultante di queste forze deve essere nulla poichè il sistema è in equilibrio.

Per quanto riguarda le forze interne su ogni punto diverso dalle estremità del tratto infinitesimo agiscono due forze di tensione che si fanno equilibrio.
Sulle due estremità invece agiscono sempre due forze di tensione ma solo una delle due forze si può considerare interna.
Ad esempio: consideriamo l'estremità inferiore.
Questa è tirata verso il basso da una particella di corda che si trova al di sotto di questa estremità per cui questa tensione rappresenta una forza esterna al sistema in questione (il tratto infinitesimo di filo). D'altra parte la particella di corda che si trova immediatamente al di sopra dell'estremità inferiore, tira quest'ultima verso l'alto per garantire l'equilibrio.
Questa tensione quindi è una forza interna al sistema.
In definitiva le forze interne hanno una risultante non nulla in quanto mentre tutte le tensioni "interne" che agiscono sul filo si equilibrano a vicenda, le tensioni "interne" che agiscono sulle estremità non si equilibrano fra loro poichè dirette lungo direzioni differenti (ovvero lungo le tangenti al filo che sono diverse perchè le estremità del filo non coincidono) e non sono neppure equilibrate da altre forze interne.

Ma se le forze esterne si devono equilibrare fra loro (cioè dove e rappresentano la tensioni "esterne" agenti sulle estremità del filo e F rappresenta la reazione esercitata dalla carrucola) chi equilibra le forze interne?

Quello che stai facendo tu è dividere la corda in tratti infinitesimi, considerare uno di questi tratti, dividerlo di nuovo in tratti infinitesimi e considerare la forza agente su ognuno di questi sub-trattini; non vedo come possa servire a spiegare la statica e la dinamica del sistema.

In definitiva le forze interne hanno una risultante non nulla in quanto mentre tutte le tensioni "interne" che agiscono sul filo si equilibrano a vicenda, le tensioni "interne" che agiscono sulle estremità non si equilibrano fra loro poichè dirette lungo direzioni differenti

Secondo me non è così; utilizzando la tua divisione in sub-trattini che chiamiamo (dove sarebbe il piccolo tratto di filo che consideri), la forza che il trattino esercita su è equilibrata dalla forza con cui tira , e lo stesso vale per e . Quindi la somma delle forze interne è zero.



Ci si potrebbe chiedere come varia la tensione nel filo se le masse sono diverse e tra carrucola e filo c'è un coefficiente d'attrito che permette alle masse di stare ferme...

Pigkappa ha scritto: Secondo me non è così; utilizzando la tua divisione in sub-trattini che chiamiamo (dove sarebbe il piccolo tratto di filo che consideri), la forza che il trattino esercita su è equilibrata dalla forza con cui tira , e lo stesso vale per e . Quindi la somma delle forze interne è zero.

Ok, se ho ben capito, tu "accoppi" la tensione che agisce sulla i-esima particella con la tensione che agisce sulla i+1-esima particella del filo dal momento che agiscono sulla stessa retta d'azione ovvero sulla congiungente delle due particelle. Così facendo la risultante delle forze interne è nulla.
Ciò che dici mi sembra corretto.
Tuttavia non capisco perchè invece non sia lecito "accoppiare" le due tensioni che agiscono sulla stessa particella...
ok, così facendo la risultante delle forze interne non sarebbe nulla, ma dove sta lo sbaglio?

Innanzitutto non capisco perchè parli di particelle. Si tratta di trattini in cui immaginiamo di dividere di filo, ma non certo delle molecole che compongono la corda, che non sono messe bene in ordine lungo la corda e che sono legate da forze elettrostatiche parecchio complicate. La differenza tra un trattino ed una particella è che un trattino ha una dimensione che può essere piccola ma non nulla, una particella in genere è puntiforme.


Penso che non si possa dimostrare che la forza è nulla dicendo che sono opposte come fai tu le tensioni e (cioè la tensione con cui la parte 1 tira la 2 e con cui la 3 tira la 2) e così via per tutte le coppie di trattini vicini perchè non è vero che : queste tensioni sono tangenti alla corda ed applicate in punti diversi (a distanza l'uno dall'altro) e quindi, se la differenza tra le due forze è , è vero che è molto piccolo, ma andando a sommare su tutti i trattini di filo viene una quantità finita che riequilibra la differenza tra le tensioni agenti sui pezzi alle estremità.

Se fosse vero che , allora la forza che la carrucola esercita su questo trattino di filo dovrebbe essere nulla.

Credo di aver capito. Io non stavo considerando dei piccoli trattini ma consideravo ogni particella come puntiforme, il che generava alla fine un assurdo.
Effettivamente, sia che si tratti di punti che di trattini, sono le coppie di forze di azione e reazione che agiscono lungo la stessa retta d'azione, mentre le altre in generale hanno rette d'azione differenti, per cui su uno stesso punto o trattino le due forze di tensione che agiscono su di esso hanno direzioni diverse.
L'interpretazione con i trattini infinitesimi rende molto meglio l'idea, anche perchè fisicamente più corretta.
Confermi tutto ciò?

Nel caso da te proposto in cui ci siano due masse diverse in equilibrio grazie alla forza di attrito tra carrucola e filo, su ogni trattino infinitesimo agirebbero quattro forze esterne:
le due tensioni agli estremi, la forza normale esercitata dalla carrucola e la forza di attrito.
Per simmetria possiamo pensare che la forza di attrito sia applicata nel punto medio di ogni trattino.
In questo caso però le due tensioni non sono le stesse.
Infatti esse hanno differenti componenti parallele al trattino perchè in questa direzione ora agisce anche la forza di attrito statico.
Per quanto riguarda le componenti perpendicolari al trattino invece non so se si può dire qualcosa di preciso...
E' giusto?

black ha scritto:Confermi tutto ciò?

Sì.

black ha scritto:Nel caso da te proposto in cui ci siano due masse diverse in equilibrio grazie alla forza di attrito tra carrucola e filo, su ogni trattino infinitesimo agirebbero quattro forze esterne:
le due tensioni agli estremi, la forza normale esercitata dalla carrucola e la forza di attrito.
Per simmetria possiamo pensare che la forza di attrito sia applicata nel punto medio di ogni trattino.
In questo caso però le due tensioni non sono le stesse.
Infatti esse hanno differenti componenti parallele al trattino perchè in questa direzione ora agisce anche la forza di attrito statico.
E' giusto?

Sì.

black ha scritto:Per quanto riguarda le componenti perpendicolari al trattino invece non so se si può dire qualcosa di preciso...

Sì, si può dire qualcosa di più preciso e quantitativo su tutta la statica del problema, ma devo trovare un modo di formularlo in modo che sia più chiaro. Proviamo così:

Due masse sono appese ad una carrucola di raggio fissata al muro e che non può ruotare. Sono sostenute da una corda che si avvolge intorno alla carrucola. Quanto deve valere, al minimo, il coefficiente di attrito statico tra la corda e la carrucola affinchè le masse siano ferme?


Forse è un po' difficile, ma tentar non nuoce...

La soluzione dovrebbe essere:



dove è la massa a destra e la massa a sinistra.

P.S: se quanto ho scritto è giusto, il procedimento lo posterò non appena avrò un po' di tempo libero.

Ho fatto il conto e mi viene come a te, ma possiamo anche lasciare che black ci pensi un po' prima di postare la soluzione .

Nella tua soluzione, deve essere la massa più pesante e la più leggera, perchè vorremmo evitare di avere un coefficiente di attrito negativo...

Allora, dovrei esserci
Consideriamo sempre il nostro trattino di filo infinitesimo. La differenza fra le componenti delle tensioni ai suoi estremi lungo la direzione parallela al trattino deve uguagliare la forza di attrito statico che agisce su di esso. Poichè inoltre , possiamo scrivere:



N è dato dalla somma delle componenti delle due tensioni lungo la direzione radiale passante per il punto medio del trattino, quindi



dove si sono misurati gli angoli a partire dalla verticale della carrucola.

Sostutuendo nella prima equazione abbiamo:



quindi



Ora, deve essere uguale al peso del corpo di massa per garantire l'equilibrio del corpo stesso, e analogamente deve essere uguale al peso del corpo di massa per garantire l'equilibrio di quest'ultimo. Quindi risolvendo si ha:

da cui:



che risulta uguale a ciò che anche voi avete trovato, il che mi fa pensare che il procedimento sia giusto...Confermate, o c'è qualcosa che non va?

Sì, è giusto.