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N palline identiche sono disposte in semicerchio su un tavolo orizzontale privo di attrito, come in figura

La massa totale delle palline è M

Un'altra pallina di massa m viene sparata con velocità iniziale contro le altre in modo che rimbalzi contro tutte le palline e alla fine continui il suo moto verso sinistra con

1) nel limite N (quindi la massa di ogni pallina sul semicerchio tende a 0) calcolare il minimo rapporto che permette alla pallina di rimbalzare fino a tornare indietro

2)Nel caso del rapporto calcolato al punto 1, calcolare il rapporto

I più esperti sapranno sicuramente da dove ho preso questo problema

Hint: in un urto 2D di una pallina grossa in movimento contro una pallina piccola ferma, la deflessione della pallina grossa è limitata. Può essere una buona idea calcolare quanto è il massimo della deflessione.

Per il primo punto mi viene , è giusto?

Si
Però senza procedimento non vale

Ed ecco il procedimento per il primo punto

Chiamiamo la massa di una sola pallina, quindi .
Per prima cosa ricavo la massima deflessione che la massa può avere dopo la collisione. Intanto, per la conservazione dell'energia, abbiamo
dove sono le velocità dopo la collisione.
Dovrà anche conservarsi la quantità di moto. Considerando la somma tra vettori, con il teorema di Carnot possiamo scrivere questa conservazione come
.
Isolando in entrambe le equazioni il termine e poi uguagliandole otteniamo l'equazione che determina in funzione di :
.
Questa è un'equazione di secondo grado con discriminante e ha soluzioni reali solo se da cui si ricava
.
La massima deflessione di m dopo una singola collisione sarà quindi data da .
Pertanto se ad ogni collisione la deflessione di m è massima, la deflessione complessiva alla fine del "giro" sarà
.
Nel limite abbiamo .
Se vogliamo che la massa torni indietro alla fine del percorso, dobbiamo porre da cui

P.s. qual è questo "famoso" libro?

Provo anche il secondo punto

Usando l'equazione di prima e ponendo ottengo che, se è la velocità della masa dopo l'ennesimo urto, allora

.

Con questo risultato posso calcolare l'energia cinetica della massa dopo l'ennesimo urto:



e quindi

.

Nel limite abbiamo

e quindi ponendo troviamo il rapporto

Spero sia giusto

Per la prima parte Ok, mi sembra che sia giusto

Ti consiglio una cosa: prova a rifare il conto del massimo angolo di deflessione ragionando nel sistema di riferimento del centro di massa

In questo caso hai trovato un modo furbo per fare pochi conti ma non è sempre possibile farlo nel riferimento del laboratorio. Nel sistema del cm di solito le cose diventano più belle (e chi scrive le gare la pensa così e guida il problema in modo da farti passare da quella parte, quindi è consigliabile imparare a farlo)

nace26 ha scritto: .

Con questo risultato posso calcolare l'energia cinetica della massa dopo l'ennesimo urto:

La velocità mi sembra giusta, mi sembra che tu abbia perso un pezzo nell'energia...

Prova a rifare il conto

Comunque il libro è il Morin

Hai ragione, nel calcolo mi sono dimenticato una per strada . L'equazione corretta è



da cui ricavo



che nel limite mi dà

da cui trovo

Spero che ora vada bene

Perfetto

comunque dietro questo problema si nasconde uno strano fenomeno psicologico perchè il 90% delle persone che lo fanno al primo tentativo trovano e^{pi/2} e tutti per errori diversi