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la mia domanda è:
sapendo posizione e velocità di un corpo vicino a uno di massa molto maggiore come si fa a a capire se il sistema è legato, ovvero se tale corpo seguirà una traiettoria ellittica oppure iperbolica?

Se l'energia totale è positiva o negativa
In particolare hai un'orbita ellittica se è negativa, parabolica se è zero e iperbolica se è positiva

Giusto, ma ora diciamogli anche perché questa cosa funziona

la butto lì,
se un corpo che orbita intorno a un altro ha sufficiente energia cinetica , l'altro non riesce a trattenerlo e quindi questo corpo si sposta sempre più lontano e quindi l'energia cinetica dovrebbe essere uguale al lavoro compiuto per spostare questo corpo dalla posizione iniziale all'ìinfinito è giusto?

Pensa a che tipo di orbite sono iperboli e parabole: il corpo può allontanarsi dal centro di gravità fino all'infinito

All'infinito il potenziale tende a 0 e visto che , se manca U, rimarrà solo K, che ovviamente non può essere negativa in quanto somma di quadrati.

Nel caso limite, il corpo arriva all'infinito da fermo e in questo caso la traiettoria è una parabola

Se arriva all'infinito con una velocità non nulla, allora la traiettoria è un'iperbole.

Per la gravità siamo fortunati, in quanto invece se allora la traiettoria è sempre ellittica (o circolare se siamo molto fortunati)