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Una massa puntiforme è fissata ad un punto di un anello di massa trascurabile e raggio . L'anello è messo in posizione verticale su un piano, e si muove rotolando. Trovare la frequenza delle piccole oscillazioni dell'anello attorno alla sua posizione di equilibrio stabile.
Cosa succede se, invece, non c'è attrito tra piano ed anello?

La posizione di equilibrio stabile è quella con la massettina a contatto con il suolo perché se spostiamo la massettina essa tende a ritornarci. L'altra, con la massettina in alto, nella posizione diametralmente opposta, è instabile perché se spostiamo la massettina questa si allontana da essa. Ciò premesso e non avendo dimestichezza con il Latex mi sembra che le piccole oscillazioni, che l'anello compie ruotando istantaneamente attorno all'asse perpendicolare al suo piano e passante per il punto di contatto con il suolo, provochino il movimento oscillatorio della massettina attorno al punto di contatto come se costituisse un pendolo lungo 2R. Infatti il punto, diametralmente opposto a quello di contatto e distante 2R da quest'ultimo, si muove orizzontalmente avanti e indietro perché ruota attorno all'asse istantaneo di rotazione prima visto. L'equazione del moto della massettina, proiettata come nel caso del pendolo sulla tangente all'anello, sarebbe m per la derivata seconda dello spostamento uguale a meno (mg.senalfa)=-mg(alfa) date le piccole oscillazioni. Lo spostamento dovrebbe essere uguale a 2R(alfa) e quindi verrebbe l'equazione di un moto armonico in cui la pulsazione al quadrato è uguale a (g/2R). Pertanto la frequenza dovrebbe venire 1/2pi(radice quadrata di g/2R).
Molto stimolante mi pare poi il caso senza attrito. Mi sembra che non ci siano forze esterne ORIZZONTALI agenti sul sistema anello-massettina: le uniche forze esterne che io vedo sono la reazione nel punto di appoggio (che senza attrito deve essere verticale) e il peso della massettina (ancora verticale). Costituiscono una coppia che può far ruotare-slittare l'anello ma con la condizione decisiva che la massettina RIMANGA sulla sua verticale fino a che non giunge al suolo e forze e momenti si annullano. Mi pare una conclusione molto "audace": ti prego di correggermi perché sono curiosissimo di vedere se ci sono altre possibilità che mi sfuggono. Grazie.

Il risultato che ti viene è giusto, ma confesso di non aver capito benissimo la tua soluzione: potresti rispiegarla? E poi, dove usi il fatto che l'anello rotola?
Per il caso senza attrito: in effetti è una situazione parecchio strana. Io avevo tentato di studiarla dando una massa all'anello per poi considerare il limite . Ebbene, quel che succede (se non ho sbagliato) è che la frequenza delle oscillazioni tende a infinito. Quindi, se la massa dell'anello è molto piccola, si può dire che l'anello si muoverà avanti e dietro molto velocemente. Se invece se è proprio zero, forse si può dire che quando la massa arriva a terra avviene un urto con il piano, quindi quello che succede dopo dipende dal tipo di urto. Non lo so, ho messo la domanda principalmente per sentire altri pareri.

Rotola perchè uso il fatto che l'asse istantaneo di rotazione è l'asse perpendicolare al piano dell'anello di contatto con il suolo come avviene nella ruota, nel cilindro che rotola ecc. Ecco perchè dico che il punto diametralmente opposto distante 2R, che simula il punto di aggancio del pendolo, va avanti e indietro mentre la massettina oscilla.
Ma sarei interessato a sapere se sbaglio il caso senza attrito quando dico che sul sistema non agisce nessuna forza ESTERNA ORIZZONTALE e che pertanto la massettina deve cadere al piede della verticale che occupa.

Ok, ok, in realtà chiedevo una nuova spiegazione della similitudine con un pendolo lungo , perché non ho capito troppo bene la tua spiegazione.

E sì, quell'affermazione è corretta!

Inizio a definire un po' di cose:
dato che la massa nel secondo scenario sta sempre sulla stessa retta verticale pongo le mie ordinate coincidenti con questa retta verticale e le ascisse il piano su cui è appoggiato il disco. Quindi l'origine è il punto di incontro tra le ordinate e il piano. chiamo inoltre l'angolo tra la congiungente centro dell'anello-massa e la retta verticale passante per il centro dell'anello.
Con queste coordinate ho che il centro dell'anello ha coordinate .
La massa ha una forza peso , e considero solo la componente perpendicolare all'anello . Dato che quest'ultimo è vincolato a muoversi solo orizzontalmente l'unica forza che accelera il centro dell'anello avrà un intensità di ovvero, riscrivendo il tutto . Ovviamente per piccole oscillazioni lo si approssima al prim'ordine ad 1, da cui la frequenza del centro dell'anello (ovvero anche quella della massa perchè fissata all'anello) è
Ora, dove sta l'inghippo?

Rispondo dopo aver risolto per bene il problema insieme a sall96.

L'inghippo sta nell'affermare che la forza orizzontale che agisce sull'anello è unicamente quella dovuta alla componente orizzontale della componente radiale della forza peso. Infatti, in realtà, sull'anello non agisce alcuna forza orizzontale, ma solo due forze verticali: la reazione vincolare del piano e la reazione della massa sull'anello. Il fatto che l'anello si sposti orizzontalmente, non è un problema, dato che l'anello non ha massa!


Per piccole oscillazioni, avviene una cosa molto curiosa: il moto non è armonico! In particolare, si ha che, lasciando, a , l'anello fermo e con un angolo (tra la verticale e la congiungente massa-centro), varia secondo la legge , dove . Ovviamente questa legge è valida solo finché la massa non arriva a terra: ciò avviene al tempo . Supponendo che, successivamente, il sistema continui ad oscillare muovendosi allo stesso modo in cui è passato da a (cioè, che l'urto tra la massa e il suolo sia elastico), si ha che è un quarto del periodo di oscillazione. Questo implica che la frequenza delle oscillazioni è (notare che tende all'infinito al tendere di a 0). Inoltre, in questo caso si può verificare che, per , la velocità della massa tende a , che per , corrisponde al valore previsto dalla conservazione dell'energia. Più precisamente, si vede che il moto della massa, approssimando al second'ordine, equivale al moto che avrebbe se fosse in caduta libera.