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Una bambina di massa su un'altalena di lunghezza alza il suo centro di massa di una piccola distanza ogni volta che passa per la posizione centrale, e la abbassa della stessa quantita' ad ogni estremo. Assumendo che compia piccole oscillazioni, calcola il lavoro fatto dalla bambina ad ogni oscillazione. Mostra inoltre che l'energia dell'altalena cresce esponenzialmene secondo la legge e trova .

Metto una foto dell'oscillazione per farla piu' comprensibile

Sono un po' in difficoltà... mi viene da dire che la bambina compia lavoro solo quando passa per la posizione centrale, è una cagata?
Possibile che venga qualcosa tipo ?

Mi pare che debba uscire dipendente dal tempo! E per aiutarti ti dico che b è molto piccolo rispetto a l, quindi nella parentesi il termine di destra è trascurabile! Quando svolgi cerca di vedere queste cose "piccole" in modo tale da preoccupartene meno (o forse di più, dipende dai casi )

Non capisco la foto perchè mi pare che al centro e al secondo estremo si sollevi di 2b e 01234 dovrebbe essere mezza oscillazione. Potresti chiarire la foto alla luce del testo?Grazie

Non avendo avuto risposta da sall96, provo a dare una soluzione partendo dalla posizione iniziale della foto con la bambina all'estremo sinistro scesa di b e lunghezza . Da questa posizione la bambina passa per il centro, sale di b a lunghezza , arriva all'estremo destro e così via fino a tornare all'estremo sinistro dove scendendo di b ritorna alla posizione iniziale (oscillazione completa).
1) Io penso che la bambina compia il lavoro SOLO quando passa per il centro dove tirando le corde verso il basso si procura una reazione verso l'alto (pari al peso) da parte dei punti del soffitto a cui l'altalena è appesa.La bambina NON compie invece lavoro quando scende agli estremi perchè si può abbandonare al suo peso senza esercitare forze. Allora il lavoro totale fatto DALLA BAMBINA in un'oscillazione completa è pari alla variazione d'energia dell'altalena che, quindi, ad ogni passaggio per il centro dovrebbe aumentare insieme all'ampiezza .
2) L'equazione del moto delle piccole oscillazioni sulla tangente alla traiettoria circolare è dove da cui si trova che l'energia è che può essere attribuita ad ogni quarto di oscillazione poichè e . Risulta da cui e

Scusa, tra le varie cose mi sono dimenticato di rispondenti comunque sì puoi assumere che si alzi e si abbassi solo di b come hai fatto tu. Attento comunque che b è una costante, quindi non cambia nel tempo
Non capisco benissimo quando dici che la bambina fa lavori solo quando passa nel centro. Per come la vedo io bisogna considerare pure gli estremi. Infatti è proprio per il fatto che si abbandona alla forza peso che compie lavoro sul sistema

Ti ringrazio per la risposta e prima di rifletterci ancora ti volevo chiarire il mio punto di vista: 1) bisogna calcolare il LAVORO DELLA BAMBINA il che implica che sia lei ad esercitare forze e impiegare sue energie: questo avviene quando si attacca alle corde e si tira su oppure se è accovacciata sul sedile e ci si alza in piedi spingendo sul sedile e provocando la stessa reazione dal soffitto; ciò non accade quando lei si abbandona al peso, lei non esercita nulla: certo il lavoro della forza peso diminuisce l'energia del sistema ma non a causa della bambina: e poi, per come la vedo io, farebbe due sollevamenti e due abbassamenti per ogni oscillazione completa che, con le approssimazioni, dovrebbero dar luogo ad una variazione nulla dell'energia dell'altalena (che quindi non aumenterebbe esponenzialmente); 2) che b sia costante e sia istantaneo non mi quadra molto: lei per sollevarsi impiega un tempo e comunque questa mia obiezione è secondaria rispetto all'altra.. Se quando puoi mi dai un parere te ne sarò grato...

Allora per quanto riguarda la 2 il fatto che b sia istantaneo è per semplificare il modello, così i conti vengono bene (più umani). Per quanto riguarda la 1 il lavoro fatto dalla bambina viene inteso come sia il lavoro che fa alzandosi che abbassandosi: alzandosi (come hai detto tu) usa delle sue energie interne per compiere lavoro, e abbassandosi diminuisce la sua energia potenziale. Secondo me anche questo abbassarsi viene considerato come lavoro fatto dalla bambina, perché è lei che si alza e si abbassa. Comunque alla fine questo è solo un fatto di nomi, il punto centrale del problema è che in un ciclo completo l'energia totale del sistema altalena+bambina cambia. La domanda è proprio di quanto cambia? E bisogna stare attenti perché alzandosi di b al centro non è uguale ad abbassarsi di b agli estremi (perché la variazione di altezza rispetto al suolo è diversa)

Va bene, ma a volte proprio i nomi sono decisivi come sai. Allora, nella prospettiva che dici, la tua prima risposta a Nace fu di assimilare quel coseno, che quantifica la differenza centro-estremi, a 1. Altrimenti si può sviluppare in serie per fi tendente a zero (piccole oscillazioni) la quantità 1-cosfi. Approfondirò qiuesto concetto.

Dopo gli ultimi chiarimenti sul testo e le approssimazioni provo la soluzione
1) La bambina compie il lavoro quando passa per il centro e compie invece il lavoro negativo quando scende all'estremo, dove è l'ampiezza dell'oscillazione. Allora il lavoro totale fatto dalla bambina in un semiperiodo, poniamo come nella foto dall'estremo sinistro a quello destro, è se si sviluppa in serie trattandosi di piccole oscillazioni e dove pongo come nel seguito l'arco percorso ; la sua energia è e dunque ritenendo .
Il lavoro totale del semiperiodo ceduto all'altalena corrisponde ad una potenza media applicata ad essa pari a dove ho messo il doppio del quarto di periodo più lungo in modo che quella potenza media sia assicurata anche se come detto .
2) In generale nelle piccole oscillazioni del pendolo l'equazione del moto sulla tangente alla traiettoria circolare di coordinata è dove si è identificato il seno con l'angolo. Questa quantità per un'altalena ideale che prescinde dalla resistenza dell'aria e che non è sollecitata, è nulla e la sua energia rimane costante. In questo caso invece considerando la potenza media di cui sopra sarà e pertanto risulterà