Innanzi tutto stimiamo qual'è l'effetto della presenza dell'aria. Mi metto in un riferimento centrato nella palla con la velocità dell'aria
( cambiando riferimento è l'aria a muoversi) nella direzione negativa delle x e l'asse di rotazione è z. Uso coordinate sferiche quindi
( che non è quello del post di gimmy ) è l'angolo tra il raggio vettore e l'asse y mentre
è l'angolo nel piano x-z misurato dall'asse x. Una forza è di sicuro la resistenza dell'aria nella direzione delle x positive. Faccio quindi questa stima: le particelle rimbalzano anelasticamente sulla palla cambiando solo la componente normale (brutta parola di questi giorni
) che è:
quindi una massa
di aria che rimbalza nel tempo
dà una forza radiale
ma visto che le forze nelle direzioni trasversali a
si bilanciano ci interessa solo la componente lungo l'asse x:
ora quanto vale
? Nel tempo
sbatte tutta la massa compresa nel volumetto
(dove
è l'area efficace) così che
. Ora mettendo insieme i pezzi
, quindi
(essendo la stima molto grossolana il coefficiente è quasi a caso, ci interessa più la forma e l'ordine di grandezza).
Ora veniamo alla parte bella: l'aria esercita anche una forza perpendicolare alla velocità che chiameremo
nel seguente modo: nella rotazione la palla si "trascina" dietro l'aria così che la velocità tangenziale dell'aria sarà la somma della velocità intrinseca dell'aria ( in realtà era della palla ma abbiamo cambiato riferimento) e quella della palla a contatto con essa. Quindi chiamandola
)
si ha
=vcos\theta-\omega R cos \phi)
e da bernouilli otteniamo che prendendo la sezione individuata dall'angolo
, abbiamo una differenza di pressione tra i punti individuati da
e
che è
^2-(v cos\theta- \omega R cos \phi)^2)=2\rho R \omega v cos \theta \cos \phi)
questo gradiente di pressione eserciterà una forza normale ( ancora gufate )
ma per simmetria le componenti in direzione x si elidono quindi avremo solo una forza perpendicolare alla velocità la cui componente infinitesima è
e dunque
che è sempre perpendicolare sia alla velocità che all'asse di rotazione.
Ora se uno prova un po di valori ragionevoli viene fuori che la palla arriva molto rapidamente in una condizione di regime in cui le tre forze agenti si bilanciano, vediamo dunque quanto valgono
e
(angolo con la verticale, ho dovuto necessariamene cambiare nome) nella condizione di regime.
l'equilibrio nella direzione della velocità dà:
cioè
^{\frac{1}{2}})
ora l'approssimazione in Taylor "è banale ed è ovviamente" (Gimmy mi capirà
)
^2))
.
ora imponendo anche l'equilibrio nella direzione trasversa viene fuori
e mettendo insieme le due cose se non ho sbagliato i conti dovrebbe venire
) viene lasciata cadere una sfera di raggio 
e massa 
che ruota attorno ad un asse parallelo al suolo con velocità angolare 
. La densità dell'aria è 
; trascurare gli effetti frenanti della viscosità.
, trovare (una stima ragionevole di):^2)
.
