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Discutere come evolve nel tempo una macchina di atwood se la massa del filo (inestendibile) non è trascurabile rispetto a quella delle due masse appese a esso.

L'unica forza che compie lavoro è il peso quindi l'energia si conserva

prendo un riferimento con asse x verticale verso l'alto con lo zero nella carrucola

scrivo la conservazione dell'energia

$K_0+U_{g_0} = K(x) + U(x)$
$-m_a gl-m_b gl-mgl/2 = 1/2 (m_a+m_b+m) v^2 -m_ag(l-x) -m_b(l+x) -mg \dfrac{l^2+x^2}{2l}$

dove l'ultimo addendo è la posizione del centro di massa della corda in funzione di x.

isolo la v:

$v= \sqrt{g \dfrac{2(m_a-m_b) x +m/l x^2}{m_a+m_b+m}}$

ricordando che $v= dx/dt$ , separo le variabili

$\dfrac{dx}{\sqrt{2(m_a-m_bx+m/lx^2)}} = \sqrt{\dfrac{g}{m_a+m_b+m}} dt$

che è effettivamente orribile.

la riscrivo in modo che sia integrabile e ottengo
$\dfrac{dy}{\sqrt{(y+1)^2-1}}=\sqrt{\dfrac{2mg/l}{m_a+m_b+m}}dt$ dove y è del tipo kx con k opportuno

integrando ottengo $x(t) = A+B cosh(\omega t)$ con $\omega = \sqrt{\dfrac{2mg/l}{m_a+m_b+m}}$

Ottimo hai bruciato il problema! vai con il prossimo

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53: macchiana di atwood con filo massivo

53: macchiana di atwood con filo massivo

Re: 53: macchiana di atwood con filo massivo

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