Forum OLIFIS

Ho scelto questo problema tratto dal test di ammissione SNS 1984/1985 perchè è molto elegante. A voi :

Un fluido uniforme di densita' ρ occupa una sfera di raggio R che varia con
il tempo. Le “molecole” del fluido si attraggono con forza gravitazionale,
e si allontanano dal centro con velocita' v = Hr, dove r e' la distanza dal `
centro ed H dipende solo dal tempo.

(i) Si dimostri che il rapporto v/v°, tra la velocita' v e la velocita' di fuga `
v°—cioè la minima velocita' che una “molecola” a distanza r deve avere
per poter sfuggire alla attrazione gravitazionale—, e' indipendente da r.

(ii) Si determini la densita' ρ° per cui v = v°.

(iii) Si determini l’energia totale E° di una “molecola” quando v = v°.
Come si comporta il fluido quando l’energia E della “molecola” e'
maggiore o minore di E°?

(iv) Indicato con R(t) il valore del raggio della sfera al tempo t, e supposto
v = v°, si esprima la velocita' v(t) al tempo t in funzione del raggio R(t)
e della massa totale M del fluido.

(v) Si dimostri che il tempo t2 −t1, occorrente perche il raggio passi dal va- ´
lore R(t1) al valore R(t2), e' inversamente proporzionale alla radice qua- `
drata della massa.
Questo problema rappresenta una schematizzazione del processo di
espansione dell’universo.

Una domanda: dal testo sembrerebbe che la densitá del fluido debba restare costante, ma sembrerebbe un po strano a meno che non si aggiungesse massa... devo assumere che la densitá diminuisca?

Certamente

Ad essere elegante, è elegante ...ma il testo non è il massimo della chiarezza (almeno secondo me), quindi scrivo una soluzione secondo quello che ho capito io (in realtà stavo aspettando che lo facesse qualcun altro per verificare la mia, ma ora sono curioso di sapere come l'hai interpretato tu )

Chiamo tutte le variabili con lo invece che con ° come hai fatto tu (così è anche più elegante a leggersi)

1)Prendo una massa m a distanza , ogni guscio sferico di roba che sta sotto resta sotto (la velocità dipende dalla distanza dal centro), e inoltre ogni guscio sferico ("sotto m") esercita una forza sulla particella di massa m come se tutta la massa del guscio fosse all'origine. Quindi la forza che la massa sente è
con (ovvero la massa che all'inizio è sotto m, che è sempre la stessa per quanto detto sopra)
Quindi il lavoro per portarla a infinito (i.e. l'energia potenziale) è la solita
Trovo quindi uguagliando quell'energia all'energia cinetica della particella che
Ora, esendo , trovo , indipendente da

2)Ora deve essere , quindi trovo , in altri termini

3)Quando (se ho capito bene) allora la molecola ha velocità uguale alla velocità di fuga, ergo
Quando le molecole sfuggono dall'attrazione gravitazionale delle altre
Quando il tutto raggiunge una configurazione di estensione massima, poi l'energia gravitazionale la fa cadere verso il centro

4)Sappiamo che , ,
Con gli stessi calcoli di prima usando le ultime due trovo
Uguagliando questa alla prima delle tre che ho scritto trovo
Quindi

5)Quello che so ora è che risolvendo dovrebbe venir fuori(ma non importa tanto, a noi interessa solo ):
Da cui è ovvio che

Bene bene. Solo 1 cosa: se noti, nell' ultima equazione R° si può semplificare. Ti ridò il testimone.

Due domande (più sul testo che altro forse... ) visto che avevo fatto i primi 4 punti ma mi sono fermato perchè credevo di non aver capito il testo: 1) al primo punto si vuole trovare la velocitá di fuga SOLO dalla massa dentro il raggio r e non da tutto il sistema giusto? Sei d accordo con me che questo dal testo non si coglieva? (Io ho capito che il testo volesse dire ciò solo perchè altrimenti non si eliminava la dipendenza da r) 2) al punto 4 il testo dice che la velocitâ dovrebbe dipendere solo da M e da R, però a me veniva inevitabile, e in effetti è così anche nella soluzione di phyknight, la dipendenza da r. Anche qui sei d accordo con me che il testo è molto poco chiaro?

gluonstrongforce ha scritto:nell' ultima equazione R° si può semplificare.

Vero! Non avevo neanche pensato che non era uno dei dati del problema, ero completamente preso dal fatto che venisse radice di M al denominatore

andrea96 ha scritto:al primo punto si vuole trovare la velocitá di fuga SOLO dalla massa dentro il raggio r e non da tutto il sistema giusto?

Si, lo "fa capire" il testo quando dice

v°—cioè la minima velocita' che una “molecola” a distanza r deve avere
per poter sfuggire alla attrazione gravitazionale

ma sinceramente anch'io l'ho capito perché così veniva indipendente da r

andrea96 ha scritto:al punto 4 il testo dice che la velocitâ dovrebbe dipendere solo da M e da R, però a me veniva inevitabile, e in effetti è così anche nella soluzione di phyknight, la dipendenza da r.

Eh si,...qui non so, forse quello che intendeva era trovare la velocità del guscio esterno, e quindi r era R (e si semplificava come al punto 5)...ma credo che se all'ammissione tu dici :"questo è in generale con r, poi se r=R allora viene quest'altro risultato particolare..." va bene lo stesso

A differenza di phyknight io l'ho risolto usando il teorema del flusso per il campo gravitazionale (che mi rendo conto che è un po la stessa cosa che ha fatto lui ma vabè)

Però i risultati non mi escono esattamente uguali e vorrei capire il perchè

è il flusso del campo gravitazionale definito come dove E è il campo gravitazionale

considerando un guscio a distanza r che "contiene" m, e la sfera totale di raggio R e massa M, abbiamo che la densità

quindi

Ora se considero il flusso ad una distanza r piccolo, al posto della massa sostituisco l'espressione precedente ottengo che il campo gravitazionale
e la forza gravitazionale


essendo l'energia potenziale di un campo vettoriale definita come

che svolgendo i calcoli risulta ad una distanza r dal centro

nella soluzione di phyknight invece l'energia potenziale risulta uguale ma senza l'un mezzo davanti. (lui l'ha scritta con la densità anziche Massa totale e Raggio totale)

Dove sbaglio?

Non ho ben capito quello che hai scritto...secondo me hai confuso le variabili m e M.
Quello che tu poni costante è la densità, mentre il testo dice che la densità varia perché le molecole si allontanano.
Quello che io ho posto costante è la massa che resta sotto un determinato guscio sferico, che nella tua notazione è (tu m la fai variare perché dipende da r)