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La staffetta sembra essere morta...probabilmente per colpa del mio problema, quindi ne propongo un altro, più fattibile, scritto meglio e anche più importante.

1)Dimostrare che l'espressione esatta per il periodo di un pendolo di lunghezza e ampiezza "non piccola" è
2)Trovare un'approssimazione per al second'ordine (ma anche a ordini successivi se volete farvi male)
(Per la seconda parte potrebbe essere utile scrivere tutto in funzione dei seni, e usare )

Metto le foto perchè sono pigro

Il due non lo so

Sapevo che avresti risposto tu...ho avuto l'idea di mettere questo problema vedendo il tuo piano inclinato curvo (che era un caso particolare di pendolo)
Solo due cose:
scrivendo una soluzione definisci meglio quello che usi (il "triangolino della pendenza" mi ha fatto pensare non poco )
e poi, quando fai l'integrale alla fine tu lo fai da a , ma la funzione è crescente tra e , quindi dovresti metterci il segno meno...o meglio girare l'integrale (come nel testo del problema)

Per il punto 2 sostituisci al posto dei coseni i seni degli angoli/2...usa la sostituzione che ti ho dato nel testo
E poi è il dominio delle approssimazioni, scegli tu come/dove/quando farle, e fai venire qualcosa al posto dell'integrale che dipende solo da

Grazie per i consigli. Per il punto 2, mettendo da parte che ultimamente sono più rimbambito che mai, non riesco a portare tutto sotto un' unica variabile, nel senso che theta ritorna quando sostituisco il de theta.

qualche hint per il punto 2:
hint 0: si fa la sostituzione con che ho messo nel testo e si ottiene qualcosa con , ma in

hint 1: quando si trova il ci sono termini in ...conviene scrivere in funzione di , e quindi in funzione di e

Fatto questo si arriva a qualcosa che dipende solo da e , e si fa la prima approssimazione

E finalmente!!!!

ok a te il prossimo problema

Ultima cosa da dire: se puoi scriverlo anche come che è molto più disegnabile in caso serva un grafico

Che onore proseguire la staffetta!!