corda e molla

[andrea96]

Una corda con massa per unitá di lunghezza σ è appesa a una molla di costante elastica k. All equilibrio la una lunghezza L di corda è in aria mentre la restante è sul pavimento. La corda è tirata du di una distanza b <<L e poi rilasciata. Qual è l ampiezza delle oscillazioni in funzione del tempo?
Non sono riuscito a fare questo problema, più che altro non trovo un semplice per fare i conti...

[sall96]

Con la lagrangiana (sempre che abbia fatto i conti bene) mi viene un'equazione differenziale non lineare del secondo ordine con wolfram alpha viene una cosa che fisicamente ha senso, un'oscillazione non simmetrica rispetto alle ascisse ma più "bombata" da una parte.
Ma come si può utilizzare il fatto che ? Che la massa della corda non cambia? Così verrebbe semplicemente un moto armonico

[andrea96]

Eh anch io mi ero ricavato l equazione del moto usando la meccanica lagrangiana e mi veniva un moto armonico, però in realtá questo non ha senso perchè l urto anelastico della corda con il pavimento dissipa energia e quindi (come dice anche il testo) l ampiezza dovrebbe diminuire nel tempo.
Il punto è che nella lagrangiana non si può includere l interazione con il pavimento perchè non ha un potenziale, credo sia un po come un attrito.
Tra l altro la difficoltá che ho incontrato provando approcci diverso è che l equazione del moto è diversa nella salita e nella discesa: nella salita infatti non c è. urto con il pavimento e l energia si co serva.

[Simone256]

Il capitolo del morin da dove l'hai preso è quello delle lagrangiane? Comunque anch'io oggi cercavo di arrovellarmi sul possibile utilizzo dell'ipotesi b<<L... Solo che non ho avuto nessun'idea utile! O per meglio dire, nessun'idea!

[andrea96]

No l ho preso dal capitolo di quantitá di moto e energia, nel paragrafo dei sistemi con proprietá anelastiche intrinseche (diciamo sistemi a massa variabile, che come ben sai, odio). Ho tentato con la lagrangiana perchè speravo di aggirare il problema del processo anelastico mettendo solo informazioni sull energia al variare dell allungamento, ma non avevo ancora capito bene cosa succedesse realmente. Magari domani scrivo l idea che avevo io in testa...
P. S. È un problema a 4 stelle del morin, quindi il fatto che sia difficile è normale. Il fatto di cui ho paura è che molti dei pochi problemi a 4 stelle del libro richiedono studi matematici molto complicati perchè non risolvibili analiticamente, spesso vengono fuori studi di grafici e metodi numerici...

[sall96]

Ripensandoci la condizione b<<L forse vuol dire che la corda rimane verticale e non "saltella" (quando va in su)

[sall96]

Ieri mi e' tornato in mente questo problema e vorrei discutere se una soluzione del genere potrebbe andare bene.

Prendo un sistema di riferimento verso l'alto con lo zero dove termina la molla quando essa e' a riposo.
sul sistema agiscono tre forze:
1) La forza data dalla molla
2) La forza peso della corda
3) La forza che accelera o decelera il pezzo di corda che sale (o sbatte) dal pavimento. Per questo punto si hanno due casi: i) la corda viene accelerata verso l'alto, e quindi il sistema risente di una forza verso il basso di intensita' , ( e' il valore assoluto della velocita'). ii) la corda sbatte contro il pavimento, allora in un tempo un pezzo di corda passa da avere quantita' di moto a zero da cui . Quindi si ha che

Da cio' l'equazione del moto diventa
con e

Io non so assolutamente risolvere un'equazione differenziale del genere ma mettendo dei dati numerici un po' a caso su wolfram viene un grafico abbastanza sensato, che rispetta la perdita di energia nel tempo.

PS: ho usato la condizione assumento che la corda rimane "rigida" nel moto e non si piega

[andrea96]

Ottimo quella era la stessa equazione che avevo trovato io solo che stupidamente mi ero dimenticato di mettere il valore assoluto e quindi la forza aggiuntiva mi veniva nello stesso verso sia nella salita che nella discesa con l effetto che l energia persa veniva poi restituita in ogni caso anche se avessi messo il valore assoluto non sono così bravo con wolfram e io stavo praticamente impazzendo nel tentare di trovare una soluzione esatta, ma pensandoci grossa parte dei problemi a 4 stelle del morin si risolvono graficamente...

[sall96]

io stavo praticamente impazzendo nel tentare di trovare una soluzione esatta, ma pensandoci grossa parte dei problemi a 4 stelle del morin si risolvono graficamente...

Infatti è l'unico difetto che trovo a quel libro

[Mdz]

La soluzione non e corretta.. Il punto sta nel cercare la perdita di energia per oscillazione con una serie di approssimazioni, la soluzione e abbastanza lunga