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La temperatura media terrestre è . Se la d'istanza Terra-Sole diminuisse dell' % quanto sarebbe la nuova temperatura media?

Ottimo

Perché la terra sia in equilibrio termico la potenza assorbita dal sole deve essere uguale a quella irradiata dalla terra quindi dove è la potenza irradiata dal sole e è la superficie della terra investita dai raggi solari. Abbiamo quindi

e , dividendole membro a membro otteniamo perciò

Il procedimento è corretto ma c'è un piccolo errore che non influenza il risultato. La superficie colpita dai raggi solari è 2pi per r al quadrato, ma la radiazione solare è perpendicolare solo all'equatore, ai poli per esempio è nulla. Quindi la superficie illuminata non regolarmente è equivalente ad una superficie pari alla metà illuminata regolarmente. Puoi anche pensare che basta uno schermo circolare di raggio r posto davanti alla Terra per fare in modo che questa non sia illuminata.

Hai ragione, avevo letto velocemente e non avevo notato l'errore

Era ben nascosto . Siccome non avevo niente da fare mi sono ricavato quello che ho detto per una semisfera illuminata con gli integrali e viene, se a qualcuno interessa la posto

Comunque per dimostrare quella cosa si possono evitare gli integrali, è molto più intuitivo:
L'intensità dipende dall'inverso del quadrato della distanza, ergo per la potenza vale il teorema di Gauss, e in particolare essendo distanti dalla sorgente vale il fatto che presa un superficie chiusa il flusso totale della potenza è nullo; dunque dovendo calcolare il flusso entrante nell'emisfera illuminata, possiamo invece calcolare quello uscente su una superficie che ha come linea di contorno la stessa dell'emisfera illuminata, in particolare possiamo scegliere quella superficie sempre perpendicolare al raggio che parte dalla sorgente luminosa, che sarebbe quindi una calotta delimitata da una circonferenza di raggio presa sulla grande sfera centrata nel sole che ha raggio (cioè la distanza terra-sole), e visto che la curvatura di questa calotta può essere trascurata e la sua area approssimata a e quindi

Scusate se m'intrometto, R è la nuova distanza Sole-Terra (cioè diminuita dell'1%)?