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Approssimazione
Inviato: 26 ott 2010, 19:18
da Eagle
Molte volte negli esercizi di fisica capita dover utilizzare la seguente approssimazione:
^n\sim 1+nx)
Mi farebbe davvero piacere conoscere i passaggi matematici che portano a questo risultato. Avevo letto a riguardo qualcosa sulla serie di Taylor, ma sinceramente non ho capito molto.
Re: Approssimazione
Inviato: 26 ott 2010, 19:45
da Alex90
Questa però vale se
!
Prova a sviluppare usando il binomio di Newton
Re: Approssimazione
Inviato: 28 ott 2010, 22:01
da CoNVeRGe.
C'è scritto semplicemente
 \sim f(0) + f'(0) x)
, il secondo membro è l'approssimazione lineare di f nel punto 0 (la retta tangente).
Per x tendente a 0
 - ( f(0) + f'(0) x ))
è una funzione che tende a zero anche se divisa per x (la verifica è immediata).
In questo caso una stima dello scarto per x positivi e n>1 è:
^n - (1 + nx) \leq \frac{(n-1)n}{2} x^2 (1 + x)^{n-2})
Re: Approssimazione
Inviato: 28 ott 2010, 22:18
da Pigkappa
Per fare le cose nel modo che credo sia più elementare e comprensibile per chi potrebbe non sapere cosa vuol dire
)
:
^n = (1+x)(1+x)...(1+x))
è chiaramente un polinomio di grado
. Immagina di fare tutti i prodotti; otterrai qualcosa del tipo
. Adesso, se
possiamo dire che x è un numero "molto piccolo", ed il quadrato di un numero molto piccolo è un numero ancora più piccolo, il suo cubo ancora più piccolo del quadrato, e così via (perchè se
è chiaro che
, eccetera).
Allora nel polinomio sopra trascuriamo tutti i pezzi in cui compare
,
, ...,
; rimane
.
Per determinare
ed
basta immaginare di fare il prodotto;
è chiaramente
e si vede abbastanza facilmente che
.
Re: Approssimazione
Inviato: 28 ott 2010, 22:27
da Eagle
Adesso mi è tutto chiaro. Grazie mille!