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Le onde del mare sono onde di superficie in cui la gravità agisce come forza di richiamo.

(i) Si consideri un'onda di frequenza angolare e di lunghezza d'onda che si propaga in un mare di profondità infinita. Sapendo che dipende dall'accelerazione di gravità , si deduca con argomenti dimensionali, cioè a meno di fattori numerici, la velocità di propagazione di queste onde.

(ii) Quando la lunghezza d'onda non è piccola rispetto alla profondità del mare, la velocità di propagazione è minore di e non può superare una velocità limite indipendente da e , ma dipendente dalla profondità del mare. Si determini, ancora con ragionamenti dimensionali, l'espressione di .

(iii) Si ponga , dove è una funzione non determinabile con i ragionamenti dimensionali usati fino ad ora. Si discuta il comportamento di per e .

(iv) Si consideri un'onda di frequenza che si propaga nella direzione , perpendicolarmente alla riva, in un mare la cui profondità sia dapprima costante e uguale ad e poi, per l'avvicinarsi della riva, diminuisca gradualmente come funzione di . Sapendo che si mantiene costante, si dica qualitativamente come variano e all'avvicinarsi dell'onda a riva. Si considerino esplicitamente i due casi in cui, lontano dalla riva, e quello in cui .

(v) Si supponga che l'onda incida obliquamente sulla riva sicché la profondità dipenda sia da (lungo la cui direzione si propaga l'onda) che da , cioè dall'altra coordinata nel piano orizzontale. Quale nuovo fenomeno si produce? Ne esiste un analogo ottico?

Non c'è domanda in cui non ci siano le parole "dimensionali", "qualitativamente" e "ottica"
Ed è un problema che possono fare anche i più piccoli (secondo me è troppo facile per essere un sns, ma poi boh giustamente devono dare qualche problema da far risolvere a tutti)

phyknight ha scritto:secondo me è troppo facile per essere un sns

Guarda la data! all'epoca i problemi che uscivano erano molto molto molto molto più facili di quelli che escono ora. Questo problema credo sia circa nella media (se non sopra) di quelli di quel periodo.

Provo a rispondere, premettendo che non sono sicuro su qualche passaggio e se ho risposto completamente a tutte le domande.

(i) Siccome possiamo vederla come il reciproco del periodo, se fissiamo una , all'aumentare di aumenta anche la velocità. Se invece fissiamo se aumenta , aumenta la velocità. Il testo ci dice che dipende da e intuitivamente possiamo pensarle proporzionali, sotituiamo a la . Data un accellerazione è una lunghezza per ottenere una velocità possiamo combinarle in questo modo

(ii) Mi sembra ragionevole dire che la velocità decresca al diminuire dell'altezza. Per ottenere una velocità con le grandezze in gioco devo combinare l'altezza con l'accelerazione di gravità in questo modo .

(iii) Innanzi tutto possiamo riscrivere quindi . Se significa che e di conseguenza in questo caso si avvicina sempre più ad perché nelle ipotesi del primo punto si diceva che quando l'altezza era molto più grande della lunghezza d'onda, la velocità è . Se invece la velocità limite è molto minore della velocità in acqua infinitamente profonda significa che quindi diminuirà progressivamente fino a 0.

(iv) La velocità è legata a e al periodo in questo modo: , ma dipende soltanto da , che è costante, si conclude che è direttamente proporzionale a . Quando l'altezza è costante anche la velocità e la lunghezza d'onda non variano. Quando l'altezza diminuisce sia che diminuiscono secondo . Per i due casi citati non ho ben capito cosa devo dire Credo che dovrebbero variare allo stesso modo( cioè sono sempre legati da proporzionalità diretta), forse si può dire qualcosa su , ma non credo sia questo la domanda. L'unica cosa che mi viene di dire è che cambia la velocità in , ma anche qui non credo sia la risposta.

(v) La domanda che mi è sembrata più interessante, ma anche dove non sono tanto sicuro, quindi quello che scrivo potrebbe essere totalmente sbagliato. Supponiamo che un onda passi da due zone con una profondità costante, ma differente. Facendo un disegnino si può notare che viene deviata è avvicinata alla perpendicolare esattamente come se fosse un raggio di luce che passa in un mezzo differente. Mi viene quindi da pensare che il fenomeno è simile alla rifrazione. Quindi un'onda obliqua che si avvicina alla riva dove la profondità diminuisce progressivamente è come se passasse in moltissimi strati in cui l'indice di rifrazione aumenta e viene quindi deviato fino a raggiungere la normale alla riva quando incontrerà essa.

@arna1998: Allora, per i punti (i), (ii) e (v) la soluzione è proprio quella che aspettavo, e direi che sono perfetti (se proprio vogliamo esagerare, aggiungiamo il fattore di conversione per distinguere la frequenza angolare dalla frequenza "normale"). Nel (iii) mi sembra ci siano dei typo (dalle formule scritte nei punti precedenti dovrebbe essere e non il viceversa, e anche l'altra risposta cambia per lo stesso motivo... comunque, ragionando un po' su cosa sono e con procedimenti del tutto analoghi a quelli che hai fatto le cose si mettono a posto), ma non è niente di grave, mentre nel (iv) le cose dovrebbero tornare meglio se provi a studiare un po' la definita al punto precedente con la funzione al posto di un fissato.

Comunque la tua soluzione in generale mi convince, a te il testimone per il proseguo della staffetta!

PS: se qualcuno volesse complicare un po' le cose o approfondire il punto (iv), il problema è facilmente generalizzabile e può essere reso impossibile a piacere

Bene! Posto subito il prossimo problema, poi appena riesco riguardo i punti (iii) e (iv).

Lasker ha scritto:PS: se qualcuno volesse complicare un po' le cose o approfondire il punto (iv), il problema è facilmente generalizzabile e può essere reso impossibile a piacere

Mi dai un aiutino sia su come commentare/risolvere il punto 4 si su come generalizzarlo?

P.s. Il punto 5 è fantastico! Un quesito a fine capitolo sull'Halliday chiedeva proprio perchè secondo il lettore le onde sulla spiaggia arrivano sempre nella direzione "giusta" e non si vedono quasi mai onde parallele al bagnasciuga! Avevo fatto anch'io il ragionamento di arna1998 e ora ne sono molto più convinto! Effettivamente è una gran figata