Avevo promesso che appena avrei avuto tempo avrei scritto una giustificazione più classica di
(se non riesci a farla, e se vuoi, poi scrivo anche quell'altra che citavo prima).
Partiamo dal fatto che le coordinate
e
si trasformano con le trasformazioni di lorentz:
)
)
.
Puoi verificare tu stesso semplicemente elevando al quadrato le trasformazioni di lorentz e sommando che la quantità:
^2-x^2-y^2-z^2)
è indipendente dal sistema di riferimento.
Diciamo quindi che
e
sono le componenti di un quadrivettore, cioè una quaterna di numeri che si trasforma secondo le trasformazioni di lorentz, e il cui modulo calcolato con una norma psedo-euclidea in uno spazio di Minkovsky ( che sicuramente sai cos'è ) è indipendente dal sistema di riferimento.
Il quadrivettore posizione è quindi
)
.
Ora dalla linearità delle trasformazioni di lorentz è evidente che posso costruire altri quadrivettori facendo somme o sottrazioni tra quadrivettori, moltiplicando o dividendo per invarianti, derivando o integrando rispetto a invarianti.
Un invariante è sicuramente
, che posso scrivere anche ( mettendomi nel particolare sistema di riferimento in cui tutte le coordinate spaziali sono nulle ) come
, dove
sarebbe l'intervallo di tempo proprio, che è quindi chiaramente un invariante.
Ora sfruttando il fatto che dalle trasformazioni di lorentz otteniamo
, deriviamo il quadrivettore posizione rispetto al tempo proprio e lo moltiplichiamo per la massa (altro invariante) per ottenere un altro quadrivettore:
=(\frac{m\gamma c^2}{c},m\gamma \vec v))
Riconoscerai che nel quadrivettore che ci è venuto fuori ci sono quelle che chiamiamo energia e quantità di moto relativistiche, che quindi costituiscono un quadrivettore il cui modulo è invariante, di conseguenza se una delle due grandezze si conserva, si conserva anche l'altra: posso infatti costruire il quadrivettore differenza, dove se una delle "due" componenti è nulla in ogni sistema di riferimento, deve esserlo anche l'altra, altrimenti avrei che questa si trasforma a seconda del sistema, ma essendo l'unica componente non nulla è anche il modulo del quadrivettore che sappiamo essere costante e quindi ho un assurdo.
Siamo dunque giunti alla conclusione che la conservazione dell'impulso relativistico
implica la conservazione dell'energia
; devo quindi convincerti che l'impulso relativistico si conserva.
Oltre ai numerosissimi dati sperimentali che lo confermano si possono dari numerosi esempi di collisioni in cui la trasformazioni di lorentz implicano che la quantità che si conserva è proprio
. Te ne porto uno come esempio:
Nel riferimento del laboratorio due particelle identiche (1 e 2) si muovono con velocità uguali e opposte; in particolare hanno le componenti x delle velocità uguali e opposte, e lo stesso vale per quelle y. Ora diciamo che le velocità in direzione y sono molto grandi mentre quelle in direzione x sono piccole. Diciamo che l'urto è tale che le componenti y restano invariate mentre le componenti x cambiano verso. Cambiamo sistema di riferimento mettendoci in quello che si muove in direzione y con la stessa velocità in quella direzione della particella 1. Qui la 1 fa semplicemente avanti e indietro lungo l'asse x. è chiaro che la quantità che si conserva e che vogliamo chiamare momento deve avere la stessa componente x per la particella 1 e per la 2 altrimenti dopo l'urto avrebbe direzione opposta a quella che aveva prima. Sappiamo però che le velocità in direzione x non sono più le stesse perchè la particella 1 ora è praticamente ferma mentre la 2 si muove a velocità
in direzione y che è molto grande. Sappiamo dalle trasformazioni delle velocità trasversali al moto che in questo caso si ha
_x=\frac{v^(1)}{\gamma})
, di conseguenza la quantità che si conserva risulta essere proprio
