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Avevo scritto questo problema nella sezione teoria perchè pensavo che si potesse in qualche modo collegare a un argomento che si trattava li. Sono ( con mia grandissima sorpresa ) riuscito a risolvere il problema ma sfortunatamente non sono riuscito a trovare un collegamento con quell'argomento. Ho pensato quindi di postare il problema qui perchè 1) è una figata, 2) volevo vedere se dopo che qualcuno riesce a farlo riesce anche a trovare il collegamento con quel fatto ( che scrivo più giu ) .
Dimostrare che in ogni punto sulla superficie di un conduttore in equilibrio vale la seguente relazione:

Dove è il versore normale alla superficie in quel punto ( per chi non conoscesse la notazione è la derivata di lungo la direzione perpendicolare alla superficie ) e e sono il raggio di curvatura massimo e minimo ( cioè tra tutte le curve che si possono tracciare sulla superficie in quel punto ce ne sono chiaramente due che in quel punto hanno i raggi di curvatura rispettivamente più grande e più piccolo di tutti quelli delle altre curve ).
Ora una volta che dimostrate quella relazione provate a ricavare da quella una relazione tra densità superficiale di carica e e . Io non ci sono riuscito e non so se si possa fare, però sarebbe bello.
[hint: se pensate che le curve di raggio di curvatura massimo e minimo siano mutuamente perpendicolari avete ragione. Io lo avevo assunto per vero perchè mi sembrava ragionevole e perchè altrimenti non avevo idee. Dopo aver trovato la soluzione ho cercato in internet e ho trovato un teorema che posto qui; "teorema di Eulero": sia l'angolo che una curva forma con quella di raggio di curvatura massimo , se è invece il raggio di curvatura minimo, allora il raggio di curvatura di questa curva è dato da ]

Ciao, scusa la mia ignoranza, ma non capisco come fanno ad esserci più raggi di curvatura

Perchè stiamo parlando di superfici non di curve. Su una superficie per ogni punto ci sono infiniti raggi di curvatura perchè sono infinite le curve che puoi disegnare sulla superficie che passano per quel punto. Il raggio di curvatura è il raggio del cerchio che approssima meglio la curva in quel punto, quindi se hai infinite curve hai infiniti raggi di curvatura ( non necessariamente tutti diversi ).

Ah, ok ora è molto più chiaro

Grazie mille per la risposta

Nel frattempo che qualcuno dimostri quella formula che ho scritto, metto un risultato che ho trovato riguardo la relazione tra densità superficiale e geometria del conduttore, perchè non riesco a interpretare il risultato e chiedo quindi aiuto a qualcuno più esperto di me che conosce l'argomento...
Partendo dalla relazione che va dimostrata, e considerando che sulla superficie del conduttore vale:

si ottiene:

integrando in e considerando che ottengo:

dove e sono due coordinate angolari che individuano univocamente la posizione di un punto sulla superficie. Quello che mi crea difficoltà sono le costanti di integrazione ( in realtà sono funzioni visto che ho integrato delle derivate parziali e le funzioni potrebbero avere dipendenza dalle coordinate tangenziali alla superficie ) e che non riesco a capire cosa siano. Forse la seconda potrebbe essere la densità di carica nei punti di "piano", però non riesco proprio a comprenderla. Il fatto è che nell'arrivare a questa formula ( che poi non so se è giusta potrei anche aver sbagliato la derivazione della formula ) non ho fatto alcuna ipotesi su campi esterni quindi la distribuzione di densità dovrebbe comprendere anche gli effetti di induzione cosa che complica molto la questione. Penso però che se si riuscisse a dare un interpretazione corretta delle costanti si riuscirebbe anche a imporre la condizione di assenza di campi esterni ( che poi è quello che mi interessa ) e si riuscirebbe forse a trovare una formula sensata... però boh... chiedo aiuto

Per il primo problema:

Prendendo un punto appena fuori il conduttore disponendo l'asse perpendicolarmente alla superficie, l'asse lungo l'arco di , l'asse l'ungo l''arco di e applicando la legge di Gauss in forma differenziale si ottiene:





Ma :

.

Concentrandoci sulla direzione e cercando un espressione per per punti molto prossimi alla superficie si ha che:



Per qualcosa che per tende a diventare una coppia di triangoli simili.

Quindi:



Allo stesso modo si ottiene che

E quindi:





Per il tuo dubbio davvero sono straconfuso ho provato per un ora a modellizzarlo in qualche modo o comunque a trovare un'equazione comprensibile ma niente

per la prima parte è ok!
Per la seconda sono due giorni che aspetto l'ispirazione divina Il problema è che per come l'ho impostato dovrebbe comprendere anche i casi in cui ci sono campi esterni e mi rendo conto che per quello non si può giungere a niente ( altrimenti penso che se avessi scoperto una formula per la distribuzione di carica su un conduttore generico in un campo generico meriterei il nobel ); io speravo di riuscirmi a ridurre al caso di assenza di campo esterno e speravo che in quel caso venisse un qualcosa di proponibile, ma il fatto è che non ho proprio idea di come imporre questa condizione