Questo problema è strabello
Grazie a Simone256 e andrea96 per i punti 3 e 5 molto più eleganti e sensati dei miei
1)banalmente il volume del nucleo è
e quindi il raggio del nucleo è
2)è un facile esercizio di elettrostatica, si "costruisce" la sfera carica uniformemente mettendo insieme gusci sferici di spessore
, quindi
, e, sapendo che il potenziale sulla superficie di una sfera carica uniformemente di raggio
è
ricavo
(edit: la notazione con tutte V fa un po' schifo, avrei dovuto usare altro, spero si capisca)
Allora
3)Ora, se la forza forte non distingue protoni e neutroni, allora l'energia non deve dipendere da
, quindi
\soluzionediSimone256on
L'energia è data come somma di contributi di energie C per ogni nucleone; C non dipende dal numero di nucleoni totali perchè la forza è di contatto quindi C può essere considerata (per A>>1) costante
\soluzionediSimone256off
quindi l'energia dipende solo dal numero di nucleoni per cui è moltiplicata la costante C
Siamo giunti a
4)A questo punto, l'interazione forte tende a far stare insieme il nucleo, mentre quella elettrostatica tende a separarlo, e la loro differenza è quindi (trascurando tutto il resto) l'energia di legame del nucleo.
Quest'energia di legame è molto piccola e poiché sono in vena di approssimare tanto, la approssimo quasi
Allora
e stimando che
ottengo
5)Qualche osservazione:
Se
è sovrastimato, si dovrà sottrarre un qualche contributo
Questo contributo deve essere proporzionale alla superficie della sfera, e quindi
.
Tuttavia non sappiamo quale sia il coefficiente per quest'altro termine di correzione, e quindi, avendo solo
come coefficiente a disposizione, dovrà essere quello
\soluzionediandrea96on
Il fatto che la densità è approssimabile come costante ci porta a dire che i nucleoni si incastrano in modo da lasciare meno spazio vuoto possibile. Possiamo quindi dire che la superficie del nucleo è uguale alla somma delle semisuperfici dei nucleoni in superficie (chiaramente non è una cosa precisa ma alla fine in questo problema si fanno solo delle stime e nel caso in cui A è grande questa è un' ottima stima).
dove
è la superficie di un nucleone e
è il numero di nucleoni in superficie. Da qui si deduce che
. Ora la supposizione che faccio è questa: questi nucleoni a differenza degli altri non hanno i "nucleoni sopra" quindi diciamo che perdono metà dell'energia nucleare forte che avrebbero se fossero "circondati". Di conseguenza il termine di correzione è proprio
\soluzionediandrea96off
Si arriva quindi a
)
L'energia totale per un nucleone è quindi la somma delle due energie (con il segno meno a quella elettrostatica[per la spiegazione di questo si veda qualche pagina avanti]) ed è uno schifo assoluto (una cosa simile a
=E_f-E_f2^{-1/3}Z^{-1/3}+kZ^{2/3})
che barando un po' e approssimando molto si potrebbe scrivere come
)
), non so come si possa disegnare nella fretta di un test sns quindi non lo disegno per la mia salute mentale
6) Tutto quello ottenuto fin ora è che l'energia di un atomo è circa (approssimando
)
-\dfrac{3}{5}\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{R_0}\dfrac{Z^2}{\sqrt[3]{A}}\right))
L'uranio usato nelle reazioni solitamente ha
. Prendo come prodotti (non ho idea di cosa prendere, ma in effetti stiamo facendo delle approssimazioni enormi, quindi continuo ad approssimare e prendo il cesio che ricordo come prodotto di fissione, poi uno potrebbe anche prendere due prodotti quasi uguali e viene sempre un risultato sensato) Cesio 140 (Z=55) e l'altro che non ricordo che sottraendo risulta avere Z=37 e A=93 (edit: wikipedia dice che è il rubidio)
Ora, si fa il conto enorme che non sto a scrivere
ovviamente vanno via i termini con l'energia di massa (l'energia nucleare viene dall'energia di legame), e restano gli
che abbiamo trovato
Se interessa scrivo almeno i tre
senza farmi problemi di cifre significative e approssimazioni
Quindi, sottraendo si trova
Questa trovata è per un singolo atomo di uranio, e sembra sensata perchè cercando su internet ho trovato che l'energia emessa è di circa
che è vicinissimo al mio risultato
Infine si trova l'energia per
di uranio usando
e si trova il risultato
come fai a dedurla? Cioè puoi dire che
con il ragionamento ma non so se va bene dire che
.
per ogni nucleone;
) costante.
) nucleoni. Quindi i contatti e dato che
allora
