Potenziale in un guscio sferico

[Scugnamì]

Allora stavo facendo il capitolo sul potenziale dell'Halliday e ho provato a fare questo problema il cui punto b) non mi esce in nessun modo. Uno spesso guscio sferico di carica Q su cui è distribuita uniformemente una certa quantità di carica è limitato dalle sfere di raggio e con . Con V=0 all'infinito si calcoli il ptenziale elettrico in funzione della distanza $r$ dal centro della distribuzione di carica nei casi:
a)
b
c)
Ora il primo punto si fa considerando per il teorema del guscio sferico tutta la carica al centro quindi ottenendo : .
Io ho fatto ,penso, anche il terzo caso considerando il potenziale sfruttando il fatto che la densità di carica sia costante e mi esce alla fine : il che (oltre ad essere il risultato dell'Halliday XD) mi sembrava razionale anche perchè il campo là dentro è nullo quindi il potenziale deve essere costante.
Per il terzo ho provato a calcolarmi il campo fatto dal guscio tra e integrarlo in e poi sommare il potenziale dovuto al guscio sovrastante tra e ma non mi trovo con il libro.
Ora i dubbi mi assalgono: va bene il ragionamento fatto per trovare il potenziale interno? e come faccio a trovare quello in mezzo ai due raggi?

[bogcal11]

Mmh... E se tu potessi esprimere il potenziale che cerchi nel punto b) attraverso una relazione tra quelli che hai calcolato precedentemente?

[andrea96]

Di solito in qualsiasi situazione in cui si hanno dei dubbi la cosa migliore da fare è:
1) calcoli il campo elettrico in ogni punto dello spazio ( la maggior parte delle volte si fa con Gauss )
2) calcoli il potenziale nel punto utilizzando la definizione di potenziale su una qualsiasi linea che va da a infinito.
Di solito non è molto conveniente calcolare il potenziale utilizzando il principio di sovrapposizione come hai fatto tu per il punto 3.
Nel tuo caso hai simmetria sferica quindi la cosa conveniente da fare è trovarsi il campo elettrico in ogni punto delle spazio con Gauss utilizzando una superficie sferica. Dopo di che per trovare il potenziale integri il campo dal punto che ti interessa a +infinito lungo una linea radiale. Attento a non sbagliare con gli integrali:devi integrare i vari pezzi nei loro domini. Per esempio se cerchi il potenziale per r<r_1 devi integrare prima la funzione campo che hai trovato tra r_1 e r_2 e la integri SOLO tra quei due valori, poi integri la funzione campo che ti sei trovato per r>r_2 e la integri tra quel valore e più infinito. Se vuoi quando lo fai puoi postare il procedimento qui

[andrea96]

Beh si anche quello che dice bogcal è corretto Però è sempre una buona cosa imparare a fare le cose nel modo più generale possibile cosi da saperlo fare in ogni situazione. Il principio di sovrapposizione per le distribuzioni continue te lo sconsiglio; quando hai distribuzioni discrete è forse la cosa migliore perchè spesso è più facile che trovare il campo elettrico, ma con le distribuzioni continue, specialmente se a simmetria sferica, è molto più facile trovare il campo.

[Scugnamì]

Allora prima di tutto grazie per le risposte. In secondo luogo avevo pensato lì di applicare il principio di sovrapposizione perchè ho e al contempo . Quindi alla fine mi sembrava fattibile,mentre per Gauss là dentro non ci deve essere alcun campo dato che ci troviamo completamente all'interno del guscio sferico quindi non sapevo come esplicitare il campo. Per il punto b) con Gauss mi ero trovato il campo e avevo pensato di integrare tra e dove R è la distanza a cui ci troviamo dal centro. Ora anche qui il campo prodotto dalla parte di guscio sovrastante dovrebbe essere nullo quindi non sapevo come esprimerlo e avevo pensato di riadattare il risultato trovato con integrando questa volta tra ed . Alla fine quindi mi era uscita una cosa del tipo:

.

Cosa sto sbagliando?

[andrea96]

Sbagli a integrare tra quei due punti! Il potenziale si calcola sempre come differenza, ma quando ti viene chiesto calcola il potenziale nel punto... implicitamente ti è stato chiesto di calcolare la differenza di potenziale tra quel punto e il punto che in cui il potenziale è stato posto zero, e in questo caso è l'infinito. Quello che devi fare è calcolare il campo in TUTTI i punti dello spazio! Se tu vuoi il potenziale dentro il guscio non ti interessa solo il campo dentro il guscio, ma OVUNQUE perchè quando andrai ad integrare il campo tra quel punto e l'infinito ti serviranno tutti i valori del campo da quel punto all'infinito. Per il campo dentro hai giustamente detto che è zero. Per il campo all'interno della distribuzione hai fatto il conto bene. Per il campo all'esterno è banale.
Riguardo il principio di sovrapposizione non ti ho detto che non è fattibile, ma solo che è la strada più lunga, abituati a fare le cose nel modo più semplice possibile, in gara o a un test risparmi un sacco di tempo, poi magari quando sei a casa è sempre bene ( dopo che si è fatto il problema nel modo più semplice ) fare il problema in tutti i modi possibili per imparare a saper fare tutto.

[bogcal11]

Alla fine dipende pure da quanta dimestichezza hai con il calcolo... Comunque considerando la situazione, almeno per quello che ho fatto io, non dovrebbe venire complicato affatto...

[Scugnamì]

Ok quindi debbo in primo luogo trovarmi l'espressione del potenziale integrando il campo tra infinito ed r2 e quello lo so fare : e a questo debbo aggiungere il campo integrando a questo punto tra ed con l'espressione che ho trovato prima. Svolgendo i calcoli ho:

e quindi in definitiva : .

Il risultato dell'Halliday è questo: sto ancora sbagliando qualcosa e mi è uscito per magia XD o il ragionamento va finalmente bene?

[andrea96]

va bene il ragionamento è giusto

[Scugnamì]

Grazie mille per la pazienza e le spiegazioni