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31: perdita di sabbia
Inviato: 16 dic 2014, 22:55
da andrea96
Un contenitore privo di massa è libero di muoversi su un piano orizzontale privo di attrito e contiene all'istante
una massa
di sabbia ed è attaccato a un muro con una corda infilata in un buco del muro in modo che la distanza tra contenitore e muro possa variare e chiamiamo
questa distanza; la corda esercita sul contenitore una tensione costante
indipendente da
. Chiamiamo
)
la massa della sabbia nel contenitore al tempo
; la sabbia viene persa con rapidità proporzionale all'accelerazione del contenitore:
)
( notare che la massa diminuisce quando il contenitore accelera verso il muro, poichè in quel caso
<0)
). Considerando che il contenitore parte da fermo e inizialmente la corda è lunga
a) trovare
,
)
e
)
b) determinare il massimo valore dell'energia cinetica
c) determinare b nel caso in cui il contenitore diventa vuoto nell'istante in cui tocca il muro
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 10:19
da bogcal11
Può essere
?
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 11:05
da andrea96
Non mi torna! Poi fai attenzione: il coso si muove verso il muro quindi la velocita deve essere sempre negativa
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 15:45
da Lasker
Questo mi è piaciuto molto (sperando di non aver commesso troppi errori
)!
La prima equazione è ovviamente quella che mi dai tu, ovvero
}{dt}=bx''(t)=b\frac{dV(t)}{dt}\ \Rightarrow\ \ \frac{dm(t)}{dt}-b\frac{dV(t)}{dt}=0)
Visto che la derivata è un operatore lineare, posso riscrivere l'ultima equazione come
-bV(t))}{dt}=0\ \ \Rightarrow \ m(t)-bV(t)=\textrm{costante})
Visto che all'inizio il corpo è fermo (spero), valutando in
trovo che la costante è
, ovvero la massa di sabbia iniziale.
Consideriamo ora il secondo principio della dinamica nella forma per sistemi a massa variabile:
}{dt}\ \ \Rightarrow\ \ T=\frac{d(m(t)\cdot V(t))}{dt}=\frac{dm(t)}{dt}\cdot V(t)+m(t)\cdot \frac{dV(t)}{dt})
Dove nell'ultimo passaggio ho usato la regola di Leibnitz.
Visto che abbiamo trovato prima che
=m_0+b\cdot V(t))
, sostituiamo:
}{dt}\cdot V(t)+(m_0+bV(t))\frac{dV(t)}{dt})
)\frac{dV(t)}{dt})
Ma questa è un'equazione differenziale a variabile separabile
)dV(t))
}(m_0+2bV(t))dV(t))
Da cui
+bV^2(t))
Risolvendo la quadratica in
)
si trova dunque
=\frac{-m_0\pm\sqrt{m_0^2+4Tb\cdot t}}{2b})
E prendiamo la soluzione negativa perché lo hai ricordato anche prima
=\frac{-m_0-\sqrt{m_0^2+4Tb\cdot t}}{2b})
E quindi, ricordando l'equazione che lega massa e velocità ricavata in precedenza
=m_0-\frac{m_0+\sqrt{m_0^2+4Tb\cdot t}}{2})
Finora è giusta (tendo a fare MOLTI errori, sia concettuali che di conti, quindi aspetto la smentita prima di proseguire
)?
Edit: e infatti
)
dalla formula viene
...
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 18:20
da andrea96
Ho messo questo problema apposta perchè sapevo che tutti avrebbero fatto lo stesso errore... e in effetti non mi sbagliavo: siamo già a due
la cosa è comunque abbastanza difficile da vedere subito ( a anche da capire ) se non uno non ha fatto moltissimi problemi sui sistemi a massa variabile...
L'errore è quello di applicare "alla cieca"
ai sistemi di massa variabile. In realtà quest'equazione è sempre vera se si è in grado ( per quello che dice il problema stesso ) di prendere in considerazione TUTTO il sistema. La questione è molto importante e non banale, anzi direi difficile... serve molta pratica per capire bene che equazione bisogna usare.
Visto che non voglio dire troppo, prova a ragionarci e a capire meglio la questione ( che ti ripeto non è per niente semplice )...
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 18:42
da Simone256
Ma la sabbia quando lascia il cammion lo lascia con velocitá relativa nulla giusto?
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 18:58
da Lasker
Wow, la parte di cui mi fidavo di più non va bene... mi sa che un po' di studio è d'obbligo
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 19:14
da andrea96
Simone256 ha scritto:Ma la sabbia quando lascia il cammion lo lascia con velocitá relativa nulla giusto?
il punto fondamentale del problema è proprio non definire cosa fa la sabbia quando lascia il carretto
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 19:16
da andrea96
Re: 31: perdita di sabbia
Inviato: 17 dic 2014, 19:28
da Simone256
