Dopo quattro giorni nemmeno un segno di vita, quindi, avendo già fatto il problema nel caso di un reticolo bidimensionale ( in realtà ho capito solo ora che non si trattava di quel problema rileggendo il testo
) provo a estendere lo stesso ragionamento al caso tridimensionale cercando di spiegare meglio possibile l'idea.
Prendiamo in considerazione i due nodi contigui che ci interessano e consideriamo prima il caso in cui uno di essi sia posto a un potenziale
mentre tutto il resto del reticolo è al potenziale di terra ( per evitare che qualcuno obbietti che un conduttore è equipotenziale dico subito che quella cosa vale solo in elettrostatica; se non siete convinti invece di spiegarvi io in questo post il motivo andatevi a rivedere l'elettrodinamica ) allora dal nodo partirà una corrente
( per evitare che qualcuno obbietti che non è stata rispettata la legge dei nodi dico subito che la corrente chiaramente non si genera dal nulla nel punto del nodo ma viene dall'oggetto indefinito che lo tiene a potenziale costante );questa obbiezione non la metto tra parentesi perchè è piuttosto rilevante: il circuito non è chiuso! la corrente che parte da questo nodo non ci ritorna! ... dov'è il trucco? il trucco sta nel fatto che il reticolo è infinito e si può quindi immaginare che il circuito sia chiuso all'infinito!. Ora sfruttiamo la prima cosa importante della situazione: la simmetria! In ognuna delle 6 resistenze che partono dal nodo scorre la stessa corrente
. Ora il secondo caso da prendere in considerazione è quello in cui l'altro nodo sia messo al potenziale
e tutto il resto è al potenziale di terra. Ora la corrente che parte dal nodo è la stessa ma opposta.
Ora sfruttiamo la seconda cosa importante del problema che è quella che si presta di più al fraintendimento: la linearità! in elettromagnetismo tutte le leggi ( o quasi ) sono lineari ciò significa che mettere insieme due situazioni fa si che si sovrappongano gli effetti senza fare interferenza, ciò l'effetto di una situazione è lo stesso che si avrebbe se non ci fosse l'altra. Mettendo quindi un nodo al potenziale
e l'altro al potenziale
tutta la corrente che che parte dal nodo "positivo" esce dal reticolo per quello negativo e c'è quindi la corrente totale che va da un nodo all'altro è
e tra i due c'è quindi una differenza di potenziale
; ma abbiamo anche un altro modo per calcolare questa differenza di potenziale: infatti per il principio di sovrapposizione nella resistenza tra i due nodi scorre una corrente doppia di quella che scorreva nei casi singoli, quindi la differenza di potenziale tra i due nodi è anche
e uguagliando le due espressioni viene
. Applicando lo stesso ragionamento al caso bidimensionale si vede che li si ha
; generalizzando
se immaginiamo un universo
la resistenza equivalente del reticolo a
dimensioni è
.
