phyknight ha scritto:aspetta!! cosa intendi per costanti? credo di aver capito male la vostra domanda...
i campi sono costanti nel tempo, non lo sono nello spazio
scusate
comunque, i calcoli da fare per questi problemi sono abbastanza assurdi, quindi basta che date la strategia risolutiva...poi se qualcuno vuole farsi tutti i conti non c'è problema
aaaaaaaah appunto!
comunque io una strategia risolutiva ce l'ho pero sinceramente i conti mi spaventano parecchio quindi inizio a esportela se il giudizio fosse positivo magari in qualche noiosa ora di italiano a scuola mi faccio anche i conti...
Partiamo dal fatto che essendo il campo elettrico costante NEL TEMPO si ha:
Ora sostituendo a
la sua espressione tramite il potenziale vettore si ha:
=\vec \nabla(\vec \nabla \cdot \vec A)-\vec \nabla^2 \vec A=\mu_0 \vec J)
Ora utilizzando il fatto che ogni funzione
( dove
è una funzione scalare ) è un potenziale vettore se lo è
possiamo scegliere la divergenza del potenziale vettore come vogliamo ( è un fatto noto che un campo vettoriale è completamente noto se sono note la sua divergenza e il suo vettore in ogni punto dello spazio, ma se si conosce solo la divergenza il campo è completamente indeterminato e questo ci permette di fare una scelta sulla divergenza ), per semplicità scegliamo
Così che la nostra equazione diventa semplicemente:
.
Dopo questa digressione torniamo alla nostra sfera e piazziamo il suo centro nell'origine degli assi e poi scegliamo come asse di rotazione l'asse
( è evidente che non c'è perdita di generalità nel fare questo ). Ora se tagliamo la sfera con piani paralleli al piano
notiamo che se un punto sulla sfera giace in tale piano ad un istante giacerà nel piano a tutti gli istante cioè "la velocità di ogni punto sulla sfera non ho componente lungo
" e quindi in ogni punto della superficie
;
supponendo per il momento che la distribuzione di carica abbia uno spessore sottilissimo
se in un punto della sfera ha velocità
allora in quel punto
. Da semplici ragionamenti sulla rotazione si può risalire alla funzione
)
e di conseguenza a
)
.
Ora torniamo alla nostra bella equazione
che ci appare così simile all'equazione di poisson
se non fosse per il fatto che mentre
e
sono funzioni scalari,
e
sono campi vettoriali; però in realtà la nostra equazioni per il potenziale vettore si può scrivere come
dove
(chiaramente non includo la
per i motivi gia detti ) e le due equazioni stavolta sono identiche all'equazione di poisson!!!
Ora se ci fa più comodo potremmo porre "fittiziamente" le funzioni
=\j_i(x,y,z))
(senza nemmeno preoccuparci delle dimensioni fisiche tanto alla fine dovremmo rifare la sostituzione) così che sia palese che ci resta da risolvere un problema di elettrostatica, con molti conti perche ritengo che le funzioni
)
non siano affatto semplici, però abbiamo già trasformato la parte concettuale legata all'evidente difficoltà di considerare una sfera carica che ruota, e ci resta solo una parte con molti calcoli.
Tra l'altro se uno è praticamente pazzo può andare a risolvere il problema di elettrostatica che ci è venuto fuori utilizzando la stranota soluzione dell'equazione di piosson:
=\int \frac{\rho(\vec r_1)}{4\pi\epsilon_0 (\vec r-\vec r_1)} dV_1)
Chiaramente alla fine bisogna aggiustare la sostituzione fittizia che abbiamo fatto facendone un altra cioè
=\phi_i(x,y,z))
e da mettere apposto qualche costante tra
e
che uno potrebbe essersi perso per strada.
Aggiungo anche lo stesso metodo è applicabile anche alla sfera con densità uniforme facendo ancora più calcoli di quelli che vengono fuori per il guscio.
ha densità superficiale di carica 
e ruota a velocità angolare 
costante.
.
comunque va bene così