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Prendo in mano il testimone di questa staffetta e vi propongo questo problema ( secondo me molto carino ) che spero vi piaccia, e spero non l'abbiate già visto...
Un corpo di massa è in moto in un campo centrale completamente sconosciuto ( nel senso che non bisogna pensare a gravità elettromagnetismo ecc... bisogna solo sapere che il campo è centrale ) e sotto l'azione di questo il corpo descrive una traiettoria polare data dall'equazione con polo nel centro del campo, dove è la distanza dal centro, è l'angolo formato dal raggio vettore con una qualsiasi retta fissata, e e sono due costanti positive. Si assumano note le condizioni iniziali del moto.
1)Determinare la forma del potenziale della forza.
2)aggiungo questo punto ora perchè fino a ieri non ero sicuro che si potesse fare senza usare un calcolatore,ma stammattina mentre la mia prof spiegava manzoni, in preda alla noia più totale l' ho fatto e quindi lo aggiungo:
Considerando che l energia totale del corpo è nulla, che il suo momento angolare è noto (quest ultima condizione va assunta anche al punto 1 ) e che la funzione è tale che , determinare a che tempo l oggetto cadrá nel centro.

1) se posso trovare il potenziale della forza, vuol dire che è conservativa, quindi l'energia si conserva



quindi

ora, E, L, m sono costanti del moto note. il problema è r'



Ora,

sostituendo,

sostituendo nella formula di U, ottengo



2) qualcosa non va o in quello che ho scritto io o in quello che hai scritto tu perchè non ho usato il fatto che l'energia totale sia 0.

per il primo punto abbiamo scritto che

separo le variabili e posso integrare perchè oltre a r e t ho solo costanti



si ricava banalmente

Aspetto risposta ed eventuali insulti per errori

OrsoBruno96 ha scritto:

Scusa se non capisco ma e non sono la stessa energia? sia una che l'altra dovrebbero essere l'energia cinetica del corpo, perche' le sommi tutte e due?

seconda cosa: quando derivi non manca l'esponenziale?

Grazie mille

sall96 ha scritto:

OrsoBruno96 ha scritto:

Scusa se non capisco ma e non sono la stessa energia? sia una che l'altra dovrebbero essere l'energia cinetica del corpo, perche' le sommi tutte e due?

seconda cosa: quando derivi non manca l'esponenziale?

Grazie mille

dunque,
v è un vettore, che si può scrivere in funzione delle sue componenti, in particolare scomponendolo in una parte radiale e una parte perpendicolare al raggio vettore congiungente il centro del sistema del riferimento al corpo.

concorderai che perchè sono perpendicolari

scrivi quindi K come somma di due contributi energetici, quello dovuto alla velocità radiale e quella tangente. ora, (con quella x intendo un prodotto vettore)
in modulo, è esattamente L = rmv(perpendicolare)

scrivendo quindi K in funzione di L, che è una costante del moto, e di r, mi sono levato un pezzo fastidioso dell'equazione

2) (secondo le banali regole di derivazione) sostituendo di nuovo r con la sua definizione

meglio?

Sì, ora tutto più chiaro!

insulti per errori

in ogni caso non mi sarei mai permesso
comunque la soluzione è corretta!
per il fatto dell'energia nulla hai ragione: il fatto è che scrivendo implicitamente dici che la velocità radiale è nulla all'infinito, invece io avevo aggiunto una costante e per porla uguale a 0 avevo aggiunto quella condizione. Ora che mi hai fatto notare questa cosa ho sospettato fortemente che se la velocità radiale all'infinito non è nulla non si può ottenere quella traiettoria... e infatti è banale verificare che è proprio così! ma come hai letto la seconda parte l'ho inventata durante la spiegazione di Manzoni perchè avevo paura che qualcuno postasse la soluzione della prima prima che riuscissi a pubblicare la seconda; quindi questo fatto mi è sfuggito!
Vai col prossimo problema!