Forum OLIFIS

Faccio una cosa strana...metto due problemi, ma basta risolverne uno per andare avanti nella staffetta.
Perché faccio questo? perché mi è stato detto di mettere un problema difficile...ma forse quello che ho scelto è davvero troppo...per questo ne metto un altro più facile ma comunque molto bello.

1)Una particella che ha massa si muove su una traiettoria circolare (con velocità non relativistica) intorno all'origine, grazie ad una forza attrattiva con una costante positiva.
Assumendo che il momento angolare della particella sia quantizzato:
a) trovare l'energia totale (cinetica + potenziale) della particella, ponendo l'energia potenziale all'origine
b) determinare la lunghezza d'onda del fotone che porta alla transizione tra due livelli energetici consecutivi


2)Abbiamo un certo volume di un materiale di densità .
Preso un punto materiale P di massa , modelliamo il nostro volume di roba in modo tale da rendere massima l'attrazione gravitazionale su P.
Quanto vale il rapporto tra questa forza e la forza che si avrebbe se il nostro materiale avesse forma sferica (e fosse posto ovviamente alla stessa distanza da P)?

1)
Allora chiaramente a ogni orbita è associata un energia, ma per la quantizzazione del momento angolare non tutte le orbite sono possibili. Tuttavia questo fatto non influisce affatto nel punto a) nel quale ci interessa solo sapere quanta energia è associata a un orbita di raggio ( chiaramente nell'ipotesi che a essere quantizzato è il momento angolare e non la forza, ma questa non mi sembra essere un ipotesi ne del problema della della meccanica quantistica in generale... ). Per il punto a) non teniamo quindi minimamente in considerazione la quantizzazione. L'energia potenziale si calcola o integrando tra e e cambiandogli il segno, o dicendo banalmente che è equivalente all'energia potenziale di una molla. Comunque la si voglia vedere si ha .
Ora visto che le orbite sono circolari è una forza centripeta e quindi , cioè
Allora:
e
Ora per il punto b) assumiamo che dove è il momento angolare dell'orbita più piccola e potrebbe essere preso uguale a ma ai fini del problema non è importante quindi lasciamo .
Possiamo mettere insieme la quantizzazione del momento angolare e la relazione tra raggio e velocità per ottenere una quantizzazione del raggio
e una quantizzazione dell'energia
Ora se la particella passa dal livello al livello perde la quantità di energia
verrà quindi emesso un fotone con quell'energia, e utilizzando la relazione di Plank
e se reinseriamo l'ipotesi per abbellire la forma:

attendo phyknight per sapere se ho sbagliato qualcosa e vorrei anche sapere nel secondo problema se quando modelliamo il volume il centro di massa deve rimanere nello stesso punto...grazie

Forse il primo problema era troppo facile...neanche 2 ore...

1) moralmente il risultato mi torna, solo che avrei preferito la risposta a) non in funzione di , ricavando dalla quantizzazione del momento angolare.
In questo modo viene e vedi subito che tra due livelli energetici consecutivi , però va benissimo così, ecco, l'unica differenza è che con l'energia scritta in funzione di vedi subito come "salta", perché, come hai giustamente scritto tu, non tutti i valori di sono possibili (solo quelli del tipo )
Comunque ok, la staffetta è nelle tue mani

2)mi sembra di no, e mi hai fatto capire che per come ho scritto l'ultima parte del problema non si capisce quello che si deve capire (colpa mia): per distanza intendo la "minima distanza", cioè la distanza tra P e il punto più vicino a P della massa "di roba a densità costante" (o della sfera)

phyknight ha scritto:Forse il primo problema era troppo facile...neanche 2 ore...

direi di si il secondo però mi sembra parecchio interessante ed ora ci sbatto un po la testa
per la staffetta sono un po in difficoltà sul problema da postare ma appena ce l'ho lo metto.
Puoi darmi solo un indizio? per il problema 2 devo partire in modo bruto impostando le condizioni e risolvendolo con matematica avanzata o ( come credo ) devo cercare un metodo intelligente che mi salva dal risolvere complicatissime equazioni?

per il secondo il mio consiglio è cercare prima di capire come si deve modellare l'oggetto per avere il massimo (con considerazioni furbe) e poi alla fine lo confronti con la sfera sempre usando una considerazione furba per semplificare le equazioni (e qui vengono degli integrali un po' brutti...ma non impossibili)

Alla faccia del problema difficile, ho visto più integrali qui che nel resto della mia vita LOL

Ho avuto seri casini con gli integrali tripli, mi sono anche fatto aiutare da wikipedia, ma spero di non scrivere troppe baggianate

partiamo con le cose semplici: scegliamo un riferimento comodo

Ci mettiamo con r = 0 nel punto in cui si trova m

ora, il campo gravitazionale è un vettore, il che complica un po' le cose, perchè quando devo fare la somma devo fare una somma vettoriale, che è piuttosto fastidiosa

assumo come ipotesi (perchè non ho voglia di cercare una spiegazione sensata e perchè altrimenti sarebbe troppo complicato ) che la massa da modellare venga fatta a simmetria cilindrica

mettiamoci quindi in un riferimento con l'asse di simmetria del coso che passa per l'origine del riferimento stesso

pubblico anche una immagine molto scrausa fatta con paint tanto per capire come mi sono posizionato

ora, prendiamo una piccola massa dm



adesso cerchiamo di capire come posizionare la massa in modo da ottimizzare il tutto
dunque, se io mi muovo lungo una superficie con , il contributo di ogni dm è lo stesso. quindi, devo cercare di mettere la massa in modo che a sia più grande possibile

abbiamo tuttavia la limitazione del volume: sappiamo che

ma

quindi

ma

quindi dove ho integrato in r in modo definito sostituendolo con a e dove ho sostituito sin x dx con d(cosx) perchè poi integro con meno fatica

conti.... quindi che è il valore che devo sostituire per ottenere il raggio giusto quando integro dopo per ottenere g


ora, visto che gli integrali non ci sono bastati, integriamo ancora

che sostituendo dV come sopra diventa


sono stufo di copiare integrali quindi scrivo il risultato

domani mi interrogano su hegel quindi lascio perdere il confronto con la massa sferica che sicuramente non è il grosso del problema. attendo risposta su quello che ho scritto.

OrsoBruno96 ha scritto:domani mi interrogano su hegel

Piango per te

ma che roba è mai questa!!!!
non ho mai visto una cosa del genere
meno male che orsobruno ha pubblicato la soluzione prima che provassi per lo meno a farlo ( ma non ci sarei mai riuscito ), penso che sarei impazzito senò! chi ce l'ha la forza di fare tutti quegli integrali!

(e qui vengono degli integrali un po' brutti...ma non impossibili)

le ultime parole famose

Alla faccia del problema difficile

l'ho messo per te ...e lo hai risolto in davvero poco tempo...forse ho sbagliato a mettere anche l'altro, è che temevo che avrei bloccato la staffetta
Le idee che hai usato sono giuste e furbissime...e soprattutto portano alla soluzione giusta
non controllo i conti perché anche io nel farlo

Ho avuto seri casini con gli integrali tripli

e perché il risultato coincide con il mio
Ora resta solo l'ultima parte di confrontare i campi ma è banale...e se non sbaglio viene tipo 1.03 (ma potrei ricordare male)

Comunque manca la dimostrazione che il coso ha simmetria cilindrica, che è secondo me una delle parti più belle del problema (e forse è più in stile olimpiadi di matematica che fisica...però potrebbero anche esistere dimostrazioni diverse da quella che ho trovato)