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Costruire una disposizione di cariche puntiformi giacente sull'asse $x$ in modo che, a grande distanza dalle cariche, il campo elettrico risultante lungo l'asse $x$ diminuisca secondo $\dfrac{1}{r^6}$

Prendiamo innanzi tutto un sistema di due cariche di ugual modulo $q$ ma segno opposto e le disponiamo sull'asse $x$ in modo tale che il punto medio tra le due sia coincidente con $O$ . Chiamiamo $a$ la distanza di ognuna da $O$ . Ipotizzando che la carica positiva sia sul semiasse positivo, allora se $r>>a$ il campo del sistema è a distanza $r$ è:
$E_1=\frac{kq}{r^2}(1-\frac{a}{r})^{-2}-\frac{kq}{r^2}(1+\frac{a}{r})^{-2}=\frac{kq}{r^2}(1+2\frac{a}{r}-1-2\frac{a}{r})=\frac{p}{r^3}$ dove $p$ è una costante caratteristica del sistema di cariche ( che in questo caso è collegata molto direttamente al momento di dipolo elettrico ). ( Nel penultimo passagio è stata usata un approssimazione al primo ordine: $(1+x)^\alpha=1+\alpha x$ se $x<<1$ ).
Ora consideriamo un sistema simile al precedente ma con la costante di proporzionalità opposta ( cioè $-p$ ) e con il centro nel punto $0<b<<r$ . Il campo di tale sistema in $r$ è:
$E_2=-\frac{p}{r^3} (1-\frac{b}{r})^{-3}=-\frac{p}{r^3}(1+3\frac{b}{r})$
allora:
$E_1+E_2=-\frac{y}{r^4}$
dove $y=3pb$ è un altra costante di proporzionalità dipendente dall'intero sistema a 4 cariche.
introduciamo ora un insieme di altre 4 cariche come il precedente ma con costante di proporzionalità opposta e centrato in $0<c<<r$ .
Ora con lo stesso identico ragionamento e le stesse identiche approssimazioni otteniamo che il campo prodotto da questo sistema di 4 cariche è:
$E_3=\frac{y}{r^4} (1-\frac{c}{r})^{-4}=\frac{y}{r^4}(1+4\frac{c}{r})$ .
E allora:
$E_1+E_2+E_3=\frac{z}{r^5}$
dove $z$ è una costante che non c'è più bisogno che spiego cosa sia

Ora al nostro sistema di 8 cariche ne aggiungiamo uno uguale ma con costante di proporzionalità opposta e centrato in $d$ , allora:
$E_4=-\frac{z}{r^5}(1-\frac{d}{r}){-5}=-\frac{z}{r^5}(1+5\frac{d}{r})$
E quindi:
$E_1+E_2+E_3+E_4=E_{(finalmente) totale}=-\frac{5zd}{r^6}$
dopo questa lunghissima iterazione mi è venuto questo segno meno davanti, allora basta semplicemente cambiare il segno a tutte le cariche e avremo un campo che a grande distanza decresce come la sesta potenza del raggio.
Poi se vuoi divertirti a sistemare tutte le cariche sull'asse x... divertiti

Vedo che ci dai dentro con le approssimazioni Andrea!! Allora Sigillo è servito a parecchio

P.s.

andrea96 ha scritto: $E_1=\frac{kq}{r^2}(1-\frac{a}{r})^{-2}-\frac{kq}{r^2}(1+\frac{a}{r})^{-2}=\frac{kq}{r^2}(1+2\frac{a}{r}-1-2\frac{a}{r})=\frac{p}{r^3}$

Dovrebbe essere $\frac{kq}{r^2}(1+2\frac{a}{r}-1+2\frac{a}{r})$

Simone256 ha scritto:Vedo che ci dai dentro con le approssimazioni Andrea!! Allora Sigillo è servito a parecchio

ahahahahahah ho imparato da te

santa approssimazione al primo ordine

Simone256 ha scritto:P.s.
andrea96 ha scritto: $E_1=\frac{kq}{r^2}(1-\frac{a}{r})^{-2}-\frac{kq}{r^2}(1+\frac{a}{r})^{-2}=\frac{kq}{r^2}(1+2\frac{a}{r}-1-2\frac{a}{r})=\frac{p}{r^3}$
Dovrebbe essere $\frac{kq}{r^2}(1+2\frac{a}{r}-1+2\frac{a}{r})$

si hai ragione ho sbagliato a mettere il segno ( anche perchè sarebbe venuto $p=0$

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distribuzione di cariche

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Re: distribuzione di cariche

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