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mi sono imbattuto in questa questione sul feynman vol.1 sesto capitolo: è più che altro un problema di probabilità però ha a che fare in qualche modo con il moto browniano; allora abbiamo un "qualcosa" che può muoversi sull'asse x partendo dall'origine e occupando solo punti a coordinate naturali sulla suddetta retta, e lo fa in questo modo: partendo da (0,0) ogni volta può muoversi di 1 o a destra o a sinistra con LA STESSA PROBABILITA IN ENTRAMBE I CASI ( feynman dice addirittura che possiamo immaginare di lanciare una monetina e nel caso esca testa si muove a destra senò a sinistra ). Dunque il problema è: qual è il valore di aspettazione per , ovvero il valore più probabile del quadrato della distanza dall'origine dopo spostamenti? il ragionamento di Feynman è il seguente: quando l'oggetto si trova in allora alla mossa successiva avrà uguale probabilità di finire alle distanze e ( fin qui sono daccordissimo... ) ; ma poi feynman dice che il valore di aspettazione per è la media quadratica di quei due valori possibili, ovvero e quindi visto che è indubbiamente uguale a , conclude dicendo che . Fondamentalmente non capisco come faccia a fare l'assunzione che il valore di aspettazione sia la media quadratica ( perchè ad esempio non il quadrato della media aritmetica...? ). Io prima di vedere il ragionamento di Feynman avevo fatto il mio ragionamento: ogni mossa dell'oggetto è un evento in cui si hanno due possibilità ( come con la monetina ); allora se io faccio lanci di una monetina (che equivalgono a mosse nel problema ) quante probabilità o che esca volte testa e volte croce? ( che equivale a dire che possibilità ho che l'oggetto vada volte a destra e le restanti a sinistra? ) la risposta ce la da la probabilità binomiale e viene ; il valore di aspettazione per si ottiene calcolando il massimo di e viene e allora la differenza tra gli spostamenti a destra e gli spostamenti a sinistra ( in valore assoluto, e se vogliamo anche al quadrato) verrebbe ( che tra l'altro sarebbe anche in accordo con il risultato ottenuto utilizzando la media aritmetica al posto di quella quadratica... ). Non riesco a capire in che punto il mio ragionamento sia sbagliato e soprattutto come si giustifica l'assunzione che fa feynman riguardo il valore di aspettazione.

per quanto ho capito dovrebbe essere corretto il procedimento di Feynman.
Quella che lui fa non è la media quadratica (dovrebbe avere la radice), ma semplicemente la media dei quadrati...infatti Feynman vuole sapere il valore medio dei "quadrati delle distanze" e quindi sembra giusto

hai ragione mi sono espresso male... è una media dei quadrati! però il suo obbiettivo non è quello di ricavare ma quello di ricavare che risulta essere quindi e lo fa passando per i quadrati. Sicuramente la media dei quadrati non è un procedimento errato, però per come la vedo io non mi sembra il più preciso: sarebbe secondo me più preciso utilizzare la distribuzione binomiale che da come risultato 1 o 0 ( dipende se è pari o dispari ). Infatti tra l'altro oggi andando avanti ho visto che poi passando al caso più generale di un moto casuale in cui i passi possono essere di qualsiasi lunghezza ma la più probabile è 1 ( in questo modo si può essere a qualsiasi distanza dall'origine ) continua a dire che il valore atteso per sia però poi presenta il grafico della distribuzione di probabilità facendo vedere che è una gaussiana che è più "schiacciata" all'aumentare di , però sono tutte centrate in ! cioè la probabilità più alta si ha proprio per cosa che mi sembra in netto contrasto con quello che ha detto prima! non so se ho riassunto bene il discorso di feynman... se qualcuno che ha il libro vuole capire meglio è il paragrafo 3 del capitolo 6 del libro 1.

Allora Andrea se lanciamo tante volte una moneta il risultato più probabile è avere un ugual numero di teste e di croci come dicevi tu! Quindi il punto più probabile dopo il movimento casuale è proprio lo . Ora... Feynman non intende (poi non so come è scritto sul testo) che il punto più probabile dopo tutti sti "lanci" è ... Il punto più probabile è lo , ma se (esempio completamente a caso) ti esce 10 volte lo ; 9 volte l', 8 volte il , ..., una volta il ; sarai d'accordo con me che il modulo della "distanza" media non è bensì un numero che se non sbaglio è circa .

Allora lui sì fa la media quadratica tra e per ottenere . Perchè non usa la media aritmetica? Il motivo principale credo sia il segno che frega allegramente! Per simmetria la probabilità di finire ad una distanza è uguale alla probabilità di finire a distanza . Se fai una semplice media aritmetica queste due probabilità si elidono e ottieni chiaramente una distanza media uguale a . Dato che a noi però interessano i moduli la domanda esistenziale a questo punto diventa: Non sarebbe più ragionevole fare la media dei moduli piuttosto che la media quadratica? Beh sono convinto che sia la distanza quadratica media (come lo è la velocità quadratica media in termodinamica) e che non sia la distanza media (che in termodinamica con i gas perfetti ha infatti un valore diverso!). Feynman probabilmente ha ritenuto la distanza quadratica media un valore più utile (eccheccaso anche moooolto più facile da calcolare) dato che alla fine lavorando in più dimensioni ci interessa fare calcoli sui quadrati delle componenti!

Però boh... Così mi sembra ragionevole anche se non ho mai visto ste cose nè tantomeno letto il Feynman (per ora )
Spero di non aver detto cazzate!!!

si allora credo intendesse questo! grazie