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Vi posto questo problema tratto dall' Halliday che non riesco a portare a termine (Capitolo 14 problema 10)

Dimostrare che l' accelerazione di gravità in un pozzo verticale di una miniera è indipendente dalla profondità se la massa volumica locale della Terra in quel punto è della media. Supponiamo che la terra sia un corpo non rotante a simmetria sferica.

Inizialmente avevo semplicemente detto che l' acelerazione gravitazionale in quel punto è dove h è la profondita, r il raggio del pozzo, M la massa della Terra e R la massa della Terra.

Credo tuttavia che il mio errore (abbastanza grave direi) sia stato quello di considerare il pozzo cilindrico come una vera e propria sfera e considerare la forza attrattiva esercitata da esso come se tutta la massa fosse concentrata nel suo baricentro.
Ho provato a calcolare per mezzo degli integrali la reale forza gravitazionale esercitata dal cilindro ma non sono molto ferrato in questo genere di calcolo. Qualcuno può darmi qualche dritta?

Non riesco a interpretare il problema
Cosa vuol dire massa volumica locale? Cioè per essere indipendente dalla profondità tutto il pozzo ha quella massa volumica? O è cavo?

Simone256 ha scritto:Non riesco a interpretare il problema
Cosa vuol dire massa volumica locale? Cioè per essere indipendente dalla profondità tutto il pozzo ha quella massa volumica? O è cavo?

io del testo invece non ho capito proprio niente!!!!!!
e oltre a questo non ho capito anche un altra cosa... il testo dice di considerare la terra come una sfera rotante, ciò mi suggerisce che bisogna considerare l'accellerazione centrifuga dovuta alla rotazione su se stessa, però in tal caso dovrebbe date la latitudine del pozzo!!!! o forse il risultato è indipendente da essa?!
comunque il mio dubbio fondamentale sta nella pozzo! nel senso se è cavo o pieno e cosa intende per massa volumica "totale" locale ( soprattutto non capisco quel totale )

Scusate ragazzi ho fatto del casino
Totale è stato frutto della mia invenzione! Inoltre il problema dice di considerare la terra come "non rotante e a simmetria sferica".
Quindi ripensandoci meglio potrebbe essere che è proprio il fatto la terra abbia questa simmetria a lasciar invariata l' accelerazione gravitazionale (se da una parte si ha una determinata massa volumica lo stesso sarà dall' altra)? Sarebbe utile tuttavia capire quale sia la "forma" della massa volumica locale..

Non trovo il testo sul mio Halliday. Ti pregherei di postarlo definitivamente in maniera corretta perchè non risulta che l'acc. di gravità in un luogo sotterraneo dipenda dalla densità nel luogo medesimo. E' noto che essa è proporzionale alla distanza dal centro cioè al raggio terrestre meno la profondità. Pertanto per essere indipendente dalla profondità, la densità dovrebbe essere inversamente proporzionale al raggio terrestre meno la profondità in modo da farla scomparire nell'espressione. Che c'entra allora il 2/3? Lo vorrei vedere scritto dall'Halliday...
(poor)

BorisM ha scritto:(Capitolo 14 problema 10)

Dimostrare che l' accelerazione di gravità in un pozzo verticale di una miniera è indipendente dalla profondità se la massa volumica locale della Terra in quel punto è della media. Supponiamo che la terra sia un corpo rotante non rotante a simmetria sferica.

Il "Dimostrare" va sostituito con "Dimostrate";
sarebbe ;
"rotante non rotante" sarebbe semplicemente "non rotante" ;

Adesso è veramente identico all'Halliday hahahahahaha

(Per essere precisi in "l' accelerazione" non va lo spazio tra l'apostrofo e "accelerazione" )

ahahahahah però è comunque poco chiaro: se la densità in quel punto è della media e nel resto della sfera resta uguale alla media ( ed è possibile perchè un punto non è un insieme misurabile secondo riemann e di conseguenza la massa totale resta la stessa ) potete fare tutti i conti che volete ma l'accelerazione di gravità resta la stessa dipendente dalla profondità! Quindi bisognerebbe capire meglio cosa intende l'Halliday...

Concordo pienamente!!! Servirebbe un'intuizione per interpretare la consegna in maniera corretta e soprattutto sensata

A caldo mi verrebbe da dire che se in un posto sulla terra la densità è minore in un altro è maggiore... Magari è proprio quel che deriva da qualche condizione di stato. Poi non l'ho risolto quindi potrebbe essere sbagliato

Io non ho quell'edizione dell'Halliday. Comunque ritengo impossibile che l'acce. di gravità in un posto dipenda dalla densità in quel posto! Dipende invece dalla densità fra quel posto e il centro. Infatti siccome c'è simmetria sferica uno potrebbe prendere come massa di prova quella contenuta in un guscio sferico infinitesimo compreso fra la profondità p e p+dp di densità appunto 2/3. La massa attrattiva interna può immaginarsi nel centro. Poi però quando si calcola l'accelerazione la massa nel guscio scompare nel rapporto fra forza grav. su essa agente ed essa stessa confermando la dipendenza solo dalla densità interna. Alla profondità p la densità sarebbe potuta essere QUALSIASI!