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Sia dato un condensatore a facce piane e parallele infinite che distano 2d l'una dall'altra e sono poste ad una ddp V fissata.
Viene riempito di particelle di carica e di carica opposta in uguale numero, tutte identiche e all'equilibrio a temperatura T. Diciamo che ne vengono messe N in ogni parallelepipedo di base unitaria e altezza 2d. Assumiamo che la presenza delle particelle cariche non alteri il campo elettrico prodotto dal condensatore(*)
Sfruttando l'analogia con il caso gravitazionale, in cui la densità di una colonna d'aria in funzione dell'altitudine z è data da una relazione del tipo , determinare:
1. la densità in funzione della posizione per ciascuna specie di particelle,
2. la densità complessiva in funzione della posizione
3. la densità di carica in funzione della posizione
(Porre x=0 per i punti equidistanti dalle due facce ed esprimere le ultime due risposte in termini di funzioni trigonometriche iperboliche:
e )
4. il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica trovata al punto precedente
5. le condizioni matematiche per cui l'ipotesi (*) è verificata, alla luce del risultato precedente

Ippo ha scritto:Sfruttando l'analogia con il caso gravitazionale, in cui la densità di una colonna d'aria in funzione dell'altitudine z è data da una relazione del tipo

Questo va dato per scontato?
Nel caso dell'atmosfera, si possono ignorare le interazioni gravitazionali tra uno strato e l'altro, mentre qui penso che ogni strato di cariche non può trascurare l'attrazione/repulsione proveniente dagli altri...

L'idea che mi sono fatto (senza trovare conferme quantitative , quindi va presa con le dovute cautele) è che tutte le cariche negative dovrebbero ammassarsi vicino alla piastra a potenziale positivo, diradandosi man mano che ci si avvicina alla metà dello spazio . A questo punto quelle positive iniziano a comparire sempre più addensate, raggiungendo la massima densità proprio in prossimità della seconda armatura. Lungo il punto medio (x=0) potrebbe esserci una densità di carica (sia positiva che negativa) praticamente nulla.
Ma queste sono solo ipotesi...

Il fatto è che non riesco a visualizzare in modo convincente l'attrazione esercitata dai singoli strati di cariche, gli uni sugli altri.
Qualche hint?

Si intende che quell'attrazione sia considerata trascurabile, anche se come cosa può sembrare un po' strana.

Primo punto.
L'hint di Ippo di sfruttare l'analogia con il campo gravitazionale semplifica da un punto di vista fisico enormemente le cose. Infatti, come le particelle dell'aria sono soggette ognuna ad una stessa accelerazione, trascurando le variazioni di g per una distanza molto minore rispetto al raggio terrestre, allo stesso modo le particelle positive e negative sono soggette ad una accelerazione costante infatti:


(1)

dove la massa delle particelle, il campo elettrico costante e la carica di ogni particella

si noti che l'accelerazione è costante e uguale per ognuna poichè hanno la stessa masa e carica. Ovvio che metà delle particelle vanno da una parte e l'altra metà dall'altra.

A sto punto consideriamo l'energia totale riferito alle particelle cariche di un segno dentro il condensatore, quindi le particelle saranno N/2 di quel segno:
(2)
inoltre poichè

allora


dove sconosciuta mentre e e ci vengono fornite.
ora la legge di Stevino ci può essere utile per porre in relazione e che vogliamo conoscre, allora si avrà:

(3)
ma invece di g poniamo la trovata prima.
Dalla si può ricavare come:
.
e quindi
(4)

quindi ricordando che

e che al posto di g ci va a
allora

la riscriviamo meglio come


con
quindi integrando da a e da 0 a si avrà:


sostituendo

ed infine
-->

questa è la densità che hanno le particelle positive che partono dall'armatura negativa e dove la x=0. Mentre più ci si avvicina all'armatura positiva e più la densità delle particelle positive diminuisce, seguendo una funzione esponenziale.
Stessa storia vale anche per le particelle negative in modo simmetrico a quelle positive.

Spero di non avere sbagliato tutto!

Osservazione:
E' interessante notare come parlare di gravità o attrazione elettrica in questo caso è la stessa identica cosa. L'interazione infatti risulta del tipo . Questo fatto non è da sottovalutare poichè è questa condizione che stà alla base della legge di Stevino posta in quel fantastico modo.

[Edit] Secondo punto.
Dato che la densità è una grandezza intensiva allora non si può sommare semplicemente la densità di due sostanze. Per poter bypassare tale ostacolo consideriamo semplicemente che il volume in cui conteremo le particelle postive e negative sarà uguale al volume nel quale si conterebbero singolarmente le cariche negative e quelle positive rispettivamente, quindi avremmo a che fare con le masse o con il numero delle particelle, che sono una grandezza sommabile normalmente.
Supposto ciò

calcolate nello stesso volume
quindi si avrà:



dove x=0 è fissato nell'armatura a sinistra considerata negativa per comodità.

ora e


e quindi



è una costante

allora per le eguaglianze postate da Ippo si ha:



Punto terzo.
Se e solo se il punto uno è giusto , in sostanza si esegue lo stesso procedimento...

Loren Kocillari89 ha scritto:
questa è la densità che hanno le particelle positive che partono dall'armatura negativa e dove la x=0. Mentre più ci si avvicina all'armatura positiva e più la densità delle particelle positive diminuisce, seguendo una funzione esponenziale.
Stessa storia vale anche per le particelle negative in modo simmetrico a quelle positive.

Spero di non avere sbagliato tutto!

Ok il risultato mi sembra quello, anche se forse è più comodo porre x=0 nel punto equidistante dalle armature, come suggerito da Ippo. poi credo che andrebbe calcolato in funzione dei dati forniti.

Loren Kocillari89 ha scritto:
è una costante

allora per le eguaglianze postate da Ippo si ha:

se calcoli e il risultato si semplifica parecchio

Rigel ha scritto: poi credo che andrebbe calcolato in funzione dei dati forniti.

Hai ragione andrebbbe fatto per completezza e verrebbe:


L'avevo tralasciato perchè volevo porre in risalto di più il fatto che la formula che riguarda la densità dell'aria è sostanzialmente equivalente a questo caso..

Punto 1: Sì è una rinormalizzazione che serve a far tornare i conti col numero di particelle assegnato:

dà

(ricordiamo che N è un numero per unità di superficie, quindi la cosa torna dimensionalmente)
ed è ovviamente uguale per le due specie di particelle, come si capiva per simmetria.
[N.B. Non chiedevo di dimostrare tutta quella roba per il punto 1, si poteva usare l'analogia sostituendo semplicemente l'energia potenziale mgz con qEx, ma è comunque un utile esercizio ]
Punti 2 e 3: le densità si ottengono rispettivamente come somma e differenza delle densità parziali, moltiplicando nel secondo caso per q/m:


Notiamo che come ci si aspetta la distribuzione di massa è simmetrica rispetto al piano di mezzo, mentre quella di carica è dispari: le cariche vanno ad ammassarsi sul piatto con carica opposta secondo una distribuzione a seno iperbolico.

I punti 4 e 5 servono appunto a chiarire l'obiezione di Stardust: si è assunta trascurabile l'attrazione tra strari contigui di cariche, ora a posteriori vorremmo sapere sotto quali condizioni l'assunzione si rivela ragionevole (la condizione da fornire dovrebbe essere del tipo con a un qualche parametro adimensionale ottenuto combinando vari dati del problema)

Ok però prima di passare ai punti 4 e 5 avrei una domanda. Come mai hai ricavato in quel modo, non sarebbe lo stesso di ricavarlo direttamente da ? Ricordo di aver visto la stessa rinormalizzazione nella gaussiana..

Loren Kocillari89 ha scritto:Ricordo di aver visto la stessa rinormalizzazione nella gaussiana..

In una distribuzione di probabilità gaussiana l'area complessiva sottesa dal grafico deve essere uguale a 1 (la probabilità che il valore della variabile sia tra e è 1, cioè l'evento accade sicuramente); in questo caso integrando la densità tra le due facce del condensatore otteniamo il numero totale di particelle, che vogliamo sia uguale a quello assegnato, perciò ci va quel fattore. Tutto qui.
La legge dei gas non mi pare possa aiutarci a trovare informazioni sulla densità dato che non abbiamo la pressione (al più possiamo trovare la pressione in funzione della densità, il che non ci aiuta)

Hints per i punti 4 e 5:
- quanto vale il campo elettrico all'esterno della distribuzione di carica? La distribuzione si può schematizzare come una giustapposizione di piani carichi infiniti, di densità di carica diverse ma che sommano a zero...
- volendo si può rispondere al 5 saltando il 4: considerando che il problema è simmetrico, dove ci aspettiamo il valore massimo del campo elettrico?..
- come lo calcoliamo, alla luce del primo hint?..