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Uno dei cattivissimi problemi della galileiana di quest'anno:
Una bolla di sapone ha una tensione superficiale di e si espande fino a un raggio di 10 cm. Poi la bolla viene collegata a un generatore di tensione di 30000 V. Di quanto varia il raggio della bolla?

Si può fare in vari modi, una con considerazioni meccaniche l'altra con considerazioni energetiche per esempio.

SOLUZIONE "ENERGETICA".

Considerando la bolla come un condensatore a "seconda piastra all'infinito", essa ha una capacità di . L'energia elettrica immagazzinata nel campo dalla bolla generato sarà quindi .
Per contro, si calcola facilmente che l'energia potenziale di una bolla con tensione superficiale (supposta 0 quando il raggio è nullo) è
. L'energia potenziale totale della bolla è quindi
. All'equilibrio, l'energia dovrà essere minima, quindi derivando si ottiene
da cui il raggio finale


SOLUZIONE "MECCANICA".

Supponiamo che una forza F espanda la bolla da un raggio ad un raggio . Per la definizione di tensione superficiale, il lavoro compiuto da tale forza è , dove è la variazione di superficie della bolla. Allora
da cui si ricava la forza
. Questa sarà per la terza legge di Newton anche la forza di "richiamo" della bolla che tende a contrarsi.
Per contro, la forza che tende a far espandere la bolla è elettrica, ed è uguale a dove è la densità di carica superficiale e il flusso sulla superficie della bolla. Esso è uguale a (non dimostro questo fatto se vuoi la dimostrazione chiedimela)
dove è il campo elettrico sulla superficie della sfera e A è la sua superficie. Da ciò si ricava
dove si è sostituita l'espressione di .
Dalla relazione
si ottiene e sostituendo nella forza di prima si ottiene finalmente
. Uguagliando le forze elastica ed elettrica si ottiene

da cui il raggio finale della bolla:

.

ok, la prima soluzione è quella che ho abbozzato anch'io anche se non sapendo nulla sulla tensione superficiale è rimasta incompleta

scusate se mi intrometto, ma che unità di misura è l' ?

Mirko93 ha scritto:scusate se mi intrometto, ma che unità di misura è l' ?

Energia nel CGS (), che io sappia è ormai in disuso da tempo... resta ancora in alcune applicazioni classiche, come la tensione superficiale e poco altro...

MrTeo ha scritto: Energia nel CGS (), che io sappia è ormai in disuso da tempo... resta ancora in alcune applicazioni classiche, come la tensione superficiale e poco altro...

Oppure il professore che sceglie metà dei problemi per l'ammissione in Galileiana e fa gli orali, nonchè Fisica 1 in facoltà è molto molto anziano, e non cambia l testo dei problemi da circa 30 anni...

MrTeo ha scritto:resta ancora in alcune applicazioni classiche, come la tensione superficiale e poco altro...

...E nei corsi di quei professori universitari che non si sono ancora voluti adeguare all'MKS perchè si sono abituati al CGS (e magari dicono di fare così perchè le costanti in CGS sono "più belle").

Fedecart ha scritto: Oppure il professore che sceglie metà dei problemi per l'ammissione in Galileiana e fa gli orali, nonchè Fisica 1 in facoltà è molto molto anziano, e non cambia l testo dei problemi da circa 30 anni...

ecco spiegato perché quasi tutto l'esame era in cgs; un problema di termodinamica mi ha rubato più di un'ora a causa della mia scarsa familiarità con il sistema

il modo in cui il generatore è collegato alla bolla mi sembra piuttosto importante. io ho interpretato il testo come se un polo del generatore fosse attaccato alla bolla e l'altro messo a terra, per cui la bolla si trova a +30 kV o -30 kV. però se il generatore resta collegato alla bolla, l'energia potenziale elettrostatica diminuisce al diminuire del raggio e così anche l'energia dovuta alla tensione superficiale. quindi l'energia sarebbe minima quando il raggio è zero
ora non so se è quello che voleva chi ha creato il problema, ma secondo me si dovrebbe considerare anche la pressione dell'aria fuori e dentro la bolla (non credo che la bolla stia nel vuoto )

In effetti avrei pur'io considerato la presenza delle varie pressioni, però non so se era nelle intenzioni di chi ha proposto il problema: così facendo mi risulta una differenza del raggio piuttosto piccola...