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In un serbatoio contenente dell'acqua installato all'esterno in un clima freddo si è formata una lastra di ghiaccio in superficie dello spessore di 5,0 cm. L'aria al di sopra del ghiaccio è alla temperatura di -10 °C. Calcolate quanto ghiaccio si forma ( in centimetri all'ora) sulla faccia inferiore della lastra di ghiaccio. Considerate una conducibilità termica e una massa volumica del ghiaccio pari a 0,0040 cal/(s.cm.°C) e 0.92 g/cm^3. Supponete che il calore non venga trasferito attraverso le pareti o il fondo del serbatoio.

Mi sono bloccato

.
Pensavo di calcolarmi il calore passato all'acqua in un'ora, e poi usare la formula del calore latente, per calcolarmi la massa di ghiaccio formatasi. Soltanto che mi sono accorto di avere pochi dati...

cosa pensi che ti manchi?

allora, chiamiamo A la superficie di contatto, D lo spessore iniziale del ghiaccio, k la conducibilità termica.
supponiamo che l'acqua all'interno sia a 0° (se anche non lo fosse aspettando a sufficienza raggiungerà tale temperatura senza che si formi altro ghiaccio)
in un istante dt il calore ceduto dall'acqua è
$dQ=\frac{kA \delta T dt}{D}$
la massa dm di ghiaccio che si forma è quindi (detta $\lambda$ il calore latente)
$dm=\frac{dQ}{\lambda}=\frac{kA \delta T dt}{D\lambda}$
lo spessore di ghiaccio creatosi è ( $p$ è la densità dell'acqua)
$ds=\frac {dm} {p A}$
$dm=p A ds$
tornando all'inizio
$p A ds=\frac{kA \delta T dt}{D\lambda}$
$\frac{ds}{dt}=\frac{k \delta T}{D\lambda p}$
la velocità richiesta è quindi
$v=\frac{k \delta T}{D\lambda p}$

sostituisci i dati e ottieni la velocità.

Grazie per la spiegazione.

Ora sembra tutto più chiaro xP.

grazie

Spammowarrior ha scritto:cosa pensi che ti manchi?

allora, chiamiamo A la superficie di contatto, S lo spessore iniziale del ghiaccio, k la conducibilità termica.
supponiamo che l'acqua all'interno sia a 0° (se anche non lo fosse aspettando a sufficienza raggiungerà tale temperatura senza che si formi altro ghiaccio)
in un istante dt il calore ceduto dall'acqua è
$dQ=\frac{kA \delta T dt}{S}$
la massa dm di ghiaccio che si forma è quindi (detta $\lambda$ il calore latente)
$dm=\frac{dQ}{\lambda}=\frac{kA \delta T dt}{S\lambda}$
lo spessore di ghiaccio creatosi è ( $p$ è la densità dell'acqua)
$ds=\frac {dm} {p A}$
$dm=p A ds$
tornando all'inizio
$p A ds=\frac{kA \delta T dt}{S\lambda}$
$S ds=\frac{kA \delta T dt}{\lambda p}$
integrando da 0 a t e da 5 a S
$S^2 - 25=\frac{2kA \delta T t}{\lambda p}$
$S=\sqrt{\frac{2kA \delta T t}{\lambda p} + 25}$
$V(t)=\sqrt{\frac{2kA \delta T }{\lambda p t} + \frac{25}{t^2}}$
sostituisci i dati e ottieni la velocità.

rimangio quello che ho detto.
non perchè fosse sbagliato in linea di principio (non penso, almeno) ma perchè trovavo la velocità in funzione dello spessore di ghiaccio che mi sembra abbastanza barbaro. così dovrebbe uscire la velocità in funzione del tempo.

Sbaglio o nell'ultimo passaggio hai scritto $velocita' = \dfrac{spazio}{tempo}$ ? ci va una derivata, non una divisione!!

Quella che ottenevi prima (velocità in funzione dello spessore) era semplicemente un'equazione differenziale (derivata di una grandezza in funzione della grandezza stessa) a variabili separabili; il secondo procedimento non è diverso, è solo che l'hai risolta.

Ippo ha scritto:Sbaglio o nell'ultimo passaggio hai scritto $velocita' = \dfrac{spazio}{tempo}$ ? ci va una derivata, non una divisione!!
Quella che ottenevi prima (velocità in funzione dello spessore) era semplicemente un'equazione differenziale (derivata di una grandezza in funzione della grandezza stessa) a variabili separabili; il secondo procedimento non è diverso, è solo che l'hai risolta.

che peerla che sono

uff, non ho voglia di derivare quella roba là

ok, non ho capito una mazza..

allora, la soluzione che avevo dato per prima trovava la velocità in funzione dello spazio, che non è buono perchè la velocità è una funzione del tempo di solito.
allora risistemando i conti si ottiene lo spessore in funzione del tempo, e derivando si ottiene la velocità.

Non c'è modo di risolverlo senza "derivare" ?
Sono un po indietro con l'analisi...Vorrei studiarmi il calcolo integrale e derivato, qualcuno sa dove posso trovare qualche materiale (libri, ebook, pdf..)?

penso che qualunque libro di analisi di liceo ti fornisca le basi necessarie per capire la fisica dell'halliday e per poter risolvere praticamente qualunque problema olimpico o normalista. sono quasi sicuro che usare direttamente un libro di università sia a) troppo difficile b) eccessivo
quindi ti consiglio di guardare i tuoi libri di matematica e di comperare il volume di analisi: male che vada lo utilizzerai in quinta

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[Termodinamica] Halliday

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