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Esercizio preso dall'Halliday:
Una corda di lunghezza e massa inizialmente si trova incollata al soffitto per l'intera estensione. Poi pende verticalmente dal soffitto rimanendo attaccata per un estremità. La modifica di orientamento della corda che variazione ha prodotto nella sua energia potenziale gravitazionale?

Ho provato a seguire il suggerimento del libro(usare gli integrali), ma non so se lo ho fatto nel modo giusto o ho sbagliato i conti.

Non vorrei dire una fesseria, ma se ho capito bene la traccia, non ci dovrebbe essere bisogno di integrali. Semplicemente puoi vedere come cambia di posizione il centro di massa!

Si lo ho fatto così inizialmente, ma poi, dato che il testo diceva che si potevano usare gli integrali, mi sono incuriosito e ho provato a farlo anche così. Non avendo mai usato gli integrali nei problemi non ci sono riuscito, però mi piacerebbe vedere una soluzione che ne fa uso.

ovviamente è giusto quello che dice NoRe! penso che il libro però voglia che in un certo senso si dimostri matematicamente quel fatto che poi è dettato dall'intuito!
comunque se consideriamo il livello zero dell'energia potenziale un punto a distanza sotto il soffitto, la corda ha energia iniziale . Ora definiamo la densità lineare della corda . un elemento infinitesimo della corda di massa a distanza dal punto di livello zero dell'energia potenziale avrà energia potenziale . per ottenerle l'energia potenziale totale allora si integra entrambe i membri tra e e si ottiene allora .
in effetti come aveva intuito NoRe, per si poteva ottenere lo stesso risultato considerando che il centro di massa era ad una quota più bassa di una quantità ed ecco qua lo stesso risultato.
spero di esserti stato utile nel procedimento richiesto con gli integrali

Grazie mille! Sei stato utilissimo!