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Una carica Q di massa M è lanciata con velocità verticale. Percorre una lunghezza L (lungo la verticale), ed è immersa in un campo magnetico perpendicolare (verso "uscente dal foglio"). Dopo lo spazio L c'é una regione di spessore molto minore a L (non dato); in questa regione la carica si può considerare in moto rettilineo uniforme. Qui è presente inoltre un campo elettrico E rivolto verso il basso, e la carica Q emette elettroni con una certa frequenza costante inizialmente fermi, che risentono del campo elettrico, del campo magnetico, e di una forza di attrito viscoso proporzionale alla velocità . Alla fine della regione superiore (raggiunto il "tetto" per capirci) è chiamata d la distanza tra l'ascissa del punto di partenza di Q e l'ascissa raggiunta.
Sul testo c'era l'immagine in cui erano rappresentati gli elettroni emessi (presumibilmente) all'entrata di Q nella regione superiore, e il cui moto era rappresentato come rettilineo uniforme, con gli elettroni che erano emessi più o meno a 45 gradi verso destra (la carica era deflessa verso sinistra).

Si chiede:
a) In assenza del campo magnetico, calcolare la velocità di regime raggiunta dagli elettroni
b) Generalizzare il calcolo precedente in presenza del campo magnetico B
c) Gli elettroni emessi che impattano il "soffitto" coprono un'area A, calcolare quest'area e descrivere il segno di Q e la velocità iniziale per cui quest'area è minima.

Punto A: le uniche forze agenti sono quelle causate da E e da F ovvero e . Uguagliando le due forze otteniamo . Dove è la carica dell'elettrone che avendo segno negativo viene accelerata dal campo elettrico E diretto da b ad a.

Punto B: ora agisce anche il vettore B, quindi sugli elettroni si esercita un forza detta forza di Lorentz. Ora essendo e perpendicolari il seno dell'angolo compreso è quindi . Tale forza è tuttavia perpendicolare anche ad quindi si compone vettorialmente e sfruttando Pitagora la forza risultante dall'azione di E e B è . Come fatto prima con , per ottenere l'equilibrio quindi elevando tutto al quadrato e risolvendo per otteniamo che per si riduce alla relazione ottenuta per il punto A.

Punto C: Senza il disegno è molto arduo, ma spero di riuscire a farmi capire. Si chiedeva di minimizzare la regione in cui giungono gli elettroni mostrando la relazione tra la minima regione e in particolare chiedeva il segno della carica Q. Io forse non ho capito a pieno cosa chiedesse di minimizzare tuttavia ho osservato che gli elettroni una volta emessi si muovono lungo una direzione che forma con il piatto più un basso un angolo . Se Q è negativa come gli elettroni, la forza di Lorentz fa compiere un arco di circonferenza dove D è la distanza tra il punto di partenza della particella di carica Q e il piatto più in basso ed R è il raggio della circonferenza che Q descriverebbe se fosse soggetta solo a e (si ottiene osservando che è un'accelerazione centripeta).
Ora la regione in cui giungono gli elettroni si minimizza se infatti gli elettroni verrebbero rilasciati lungo la stessa direzione lungo la quale saranno poi mossi a causa di perciò giungono tutti nello stesso punto. Quindi essendo . Quindi si fanno un po' di contacci osservando che e si risolve rispetto a .

chi dice che Fe ed Fb sono perpendicolari?

Lo sai, se non mi sbaglio di grosso, dai dati del problema.
B è perpendicolare a E e questo ce l'hai per ipotesi in quanto giacciono su piani perpendicolari. Inoltre per come è definita la forza di Lorentz (dati B e V perpendicolari e ciò è sempre vero nel nostro problema in quanto V si trova su un ipotetico piano (x,z) mentre B è sull'asse perpendicolare (z) ) è sempre perpendicolare a V, ma su un altro asse rispetto a B. Quindi fissiamo un attimo questi assi. L'asse y è quello della forza e quindi per i primissimi momenti anche quello di , B giace sull'asse z quindi si trova sull'asse x.
Questo quindi vale fintanto che e sono sullo stesso asse, questo chiaramente non avviene se la distanza percorsa dagli elettroni è grande, tuttavia sia la velocità limite sia la stessa distanza tra i due piatti viene raggiunta in un tempo molto breve quindi con le dovute approssimazioni si può considerare perpendicolare ad ottenendo una accettabile approssimazione e descrizione qualitativa del moto degli elettroni.

Questo per usare tante parole teoriche, se no uno vede dal testo che l'altra particella carica Q si può approssimare che si muova di moto rettilineo uniforme tra le due piastre (i motivi non vengono detti, ma suppongo siano analoghi a quello detto prima per gli elettroni) e quindi quell'approssimazione la puoi prendere per vera anche per gli elettroni.
Questo è quanto la mia mente assonnata è riuscita a capire/scrivere/spiegare. C'è qualcosa di clamorosamente errato?

questo vorrebbe dire che gli elettroni si muovono sempre in verticale.
tuttavia la forza di attrito è opposta alla velocità, quindi è verticale.
quindi hai una forza verticale verso l'alto (Fe) una forza verticale verso il basso (attrito) e una forza orizzontale verso destra (Fb)
ad occhio la risultante di queste tre forze non è mai 0, giusto?

Non si muovono solo verticalmente, "a quanto ho capito" le approssimazioni del fatto che la distanza "innominata" tra i due piatti fosse piccola e che il tempo per raggiungere la velocità limite fosse molto breve, implica che è influente solo quando perpendicolare a cioè nei primissimi istanti di accelerazione di (le due proprosizioni possono essere assunte strettamente legate per quanto detto nel post precedente) altrimenti non mi riuscirei a giustificare neanche il comportamento dell'altra particella di carica Q.

Sbaglio o questo non era il terzo problema ma il secondo?

Forse mi sbaglio ma mi pareva fosse il terzo... il secondo non era quello della carrucola?
Comunque a me non convinceva molto il modo in cui erano approssimati gli elettroni... nel disegno li hanno fatto che partivano praticamente direttamente molto inclinati a destra... se partono da fermi dovrebbero percorrere un arco di circonferenza, pur essendo piccola la distanza percorsa, si può davvero approssimare il moto in quel modo tanto grossolano senza commettere errori apprezzabili (nell'ambito del problema ovviamente)?

Questo era il secondo problema e secondo me anche il più carino
il moto degli elettroni è rettilineo uniforme perchè: lo diceva il testo; la forza di attrito viscoso ha la stessa direzione della velocità, quindi dopo un tempo sufficiente la velocità assumerà quella direzione per cui la forza risultante ortogonale è nulla (moto rettilineo) e poichè l'attrito è proporzionale alla velocità, ci sarà un certo valore di v per cui la forza risultante parallela al moto è nulla...tale valore è costnate e il moto è anche uniforme.
forse si può dimostrare che il moto raggiunge effettivamente queste condizioni di regime (anche se le equazioni mi sembrano un pò brutte) ma quando lo dice il testo non pensa sia il caso
quanto alle particelle cariche, attribuire loro un moto rettilineo uniforme (tra le armature del condensatore) è solo un'approssimazione che semplifica i calcoli del punto c

Rigel ha scritto:forse si può dimostrare che il moto raggiunge effettivamente queste condizioni di regime (anche se le equazioni mi sembrano un pò brutte) ma quando lo dice il testo non pensa sia il caso

Sì, ovviamente non era richiesto e non è della gran bella matematica, ma insomma, giusto per cultura generale...
Le equazioni del moto assumono la forma (se ho capito bene la disposizione delle varie cose, ma forse è un'ipotesi falsa)
che scritta in componenti, prendendo l'asse x orizzontale (nel foglio), quello y verticale (nel foglio) e quello z uscente dal foglio, diventa:

che possiamo riassumere con formalismo vettoriale, detto (ci riduciamo al moto bidimensionale visto che l'equazione per z(t) è banale), nel modo seguente:

dove e per comodità.

La soluzione particolare si ha prendendo costante, ed è quindi data da ovvero (nota: la matrice M è invertibile a meno che sia beta sia B siano nulli, nel qual caso il problema è idiota);
per la soluzione dell'omogenea si ha

Tentiamo il solito approccio sperando di trovare un (complesso) che soddisfi l'equazione. Si ottiene:

da cui
(I è la matrice identità)
Per ammettere soluzioni non banali (cioè ) il determinante della matrice deve annullarsi, cioè si deve avere

Segue (non determiniamo la forma che deve avere , non ci interessa esplicitamente) che la soluzione generale dell'omogenea ha la forma

dove notiamo il coefficiente di smorzamento esponenziale dipendente dall'attrito viscoso.

Conclusione: il moto, dopo un tempo nell'ordine di , si stabilizza sulla soluzione "a regime" di moto uniforme (cioè la soluzione particolare dell'inomogenea trovata prima), indipendentemente dalle condizioni iniziali assegnate.