Hai assunto che
,
siano paralleli a
, che in generale non è vero, e questo ti semplifica significativamente la dimostrazione.
Il passaggio
non ha in realtà grande fondamento e ti conduce in modo molto, molto fortunoso al risultato giusto
.
qua è semplicemente un tratto di lunghezza e non è legato a
da nessuna relazione... Non mi aspettavo che qualcuno cercasse di fare la dimostrazione con l'analisi differenziale a livello locale, ma semplicemente tiraste fuori quella con gli integrali che è sull'Halliday. Scrivo qua qualche dettaglio sui passaggi per la soluzione con l'analisi differenziale per chi sapesse qualcosa a riguardo, ma vi invito a provare a farla con gli integrali in un caso semplice ma in cui si evidenzia bene dove usate le ipotesi di incomprimibilità e stazionarietà (stazionario = che non cambia al variare del tempo). Per quanto riguarda l'incomprimibilità, avete ragione sul fatto che la dimostrazione non è immediatamente estendibile al caso comprimibile. In generale, se il fluido è comprimibile, il teorema non è vero; ci sono però alcuni casi particolari in cui vale lo stesso, ma magari ci arriveremo se postate una dimostrazione del teorema che mi convince
.
Se vuoi usare l'analisi differenziale, devi fare attenzione al fatto che l'equazione del moto è
 = - \vec \nabla P + \rho \vec g)
; a te manca praticamente il pezzo
 \vec v)
. Provo a cercare di farti capire da dove viene questo pezzo così: immagina un liquido in rotazione come un corpo rigido, e consideriamo un elementino di massa nel fluido che ruota, e scriviamo
. Alla fine
si riconduce a forze come quella dovuta alla pressione
o altre; preoccupiamoci qua di
. Tu sai bene che un corpo in rotazione attorno a un asse ha una accelerazione
dove
è il raggio; quindi deve essere
. Perciò il termine a destra in
non è detto che sia 0 se la situazione non dipende dal tempo. Questo viene rappresentato dal termine
nell'equazione.
Per tirarlo fuori formalmente, per quelli che sanno le derivate parziali, possiamo scrivere che è:
}{dt} = m (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac{\partial \vec v}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial \vec v}{\partial y} \frac{dy}{dt} + \frac{\partial \vec v}{\partial z} \frac{dz}{dt}) = m (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \frac{\partial \vec v}{\partial x} v_x + \frac{\partial \vec v}{\partial y} v_y + \frac{\partial \vec v}{\partial z} v_z) = m (\frac{\partial \vec v}{\partial t} + \vec v \cdot \vec \nabla \vec v))
Si usa poi un'identità vettoriale per trasformare
in
)
, si deve usare l'ipotesi
di incomprimibilità per far sparire un fastidioso termine aggiuntivo, si deve usare l'ipotesi di caso stazionario
, e alla fine si dimostra che
)
è perpendicolare a
e quindi che
è fissato se ci si muove lungo una linea di flusso. Ma i conti sono insidiosi, richiedono di passare dal rotore della velocità (il rotore è il prodotto vettoriale con
, invece del prodotto scalare), e non penso valga la pena vi ci mettiate a farli a meno di non avere uno strano interesse per la fluidodinamica.
