Il caso è analogo a quello gravitazionale: l'unica forza che agisce su una carica è quella prodotta dal campo elettrico delle cariche contenute nella sfera posta sotto di essa. (Non sono molto chiaro ma penso che il caso gravitazionale sia ben presente a tutti). Questo fondamentalmente perché i conti in un caso o nell'altro "si fanno allo stesso modo".
PUNTO 1
Consideriamo una sfera di raggio r concentrica alla prima, con r < R_0.
Sia
la densità di carica. Allora, a distanza r dal centro della sfera, il campo elettrico è radiale ed è dato da
 = \dfrac{\rho}{3\epsilon_0}r)
, la forza subita da una carica q sulla superficie di una sfera di raggio r sarà dunque data da
 = \dfrac{\rho q}{3\epsilon_0}r)
da cui l'accelerazione
 = \dfrac{\rho q}{3m\epsilon_0}r)
.
Consideriamo due particelle che stiano rispettivamente a distanze
e
dal centro. Il rapporto tra le loro due accelerazioni, in ogni istante, è dato da
, costante ad ogni istante. Esso sarà quindi uguale al rapporto tra gli spazi percorsi in uno stesso istante: se le due particelle, dopo un certo istante t, saranno distanti
e
dal centro, si avrà
(*). Ma allora
e di conseguenza
^3 = (\dfrac{r_2 '}{r_2})^3)
. Ma i rapporti appena scritti sono i rapporti tra i volumi sottesi dalle due particelle nei due istanti. Si vede quindi che tale rapporto è lo stesso per tutte le particelle, in un determinato istante t. Di conseguenza, se la densità diminuisce di un certo fattore x in una qualsiasi sfera concentrica alla prima, diminuisce dello stesso fattore x anche in tutte le altre sfere concentriche alla prima, e la densità globale rimarrà sempre uniforme.
(DIMOSTRAZIONE della (*): le due equazioni differenziali che descrivono il moto sono infatti, rispettivamente,
e
, con k costante, e se quindi esistono due soluzioni
)
e
)
alle rispettive equazioni differenziali, sarà
 = kr_1(t))
).
PUNTO 2. L'energia potenziale di una particella sulla superficie della sfera è
, dove N è il numero di cariche contenute nella sfera. (Si è approssimato N-1 a N visto che le cariche sono in gran numero).
All'infinito, la sua energia potenziale risulterà trasformata totalmente in energia cinetica, quindi
da cui
.
Ovviamente la velocità della particella più esterna è uguale alla velocità con cui la sfera a cui si riferisce il problema si ingrandisce. La velocità richiesta è quindi proprio
.
P.S.: tutto questo ovviamente si sminchia se si richiede di esaminare anche le interazioni magnetiche... spero vivamente che non sia così! ahahah
sono distribuite un gran numero di particelle, ciascuna di massa 
e carica 
, in modo tale che il loro numero per unità di volume sia lo stesso ovunque entro la sfera. )
di tale sfera.
.