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Mi pare che non ci sia quà sul forum. E' uno dei pochi SNS che ho trovato carini.

Si considerino due corpi sferici (solidi) di massa e raggio , orbitanti attorno ad un pianeta di massa su uno stesso piano, nello stesso verso e su orbite circolari di raggio e , con . Supponiamo inizialmente che essi siano abbastanza distanti tra loro in modo da poter trascurare la mutua attrazione gravitazionale.

a) Si calcoli di quanto differiscono le loro velocità angolari dalla velocità angolare che avrebbero se si muovessero sull’orbita di raggio .

b)Quale forza oltre a quella del pianeta occorre esercitare su ciascuno dei due corpi affinchè essi possano ruotare sulle orbite di raggi e ma con velocità angolare ?

Consideriamo ora la situazione in cui i due corpi, per effetto della loro mutua interazione gravitazionale, ruotano ancora su orbite di raggio e ma a contatto tra di loro.

c) Tenuto conto del risultato del punto b) precedente, si determini in funzione di , , , , la disuguaglianza che rende questa situazione possibile.

d) Supponendo uguali le densità dei due corpi e del pianeta, si riduca la relazione ricavata in c) ad una disuguaglianza fra e il raggio del pianeta.

e) Che cosa si può concludere in merito alla formazione di satelliti o di anelli attorno ad un pianeta?

Muovendosi su orbite di raggio differente i due corpi si spostano con velocità angolari diverse, calcolabili con un approccio dinamico:
-per il corpo più esterno con raggio orbitale si ha
;
-per il corpo più interno di massa con raggio orbitale si ha
.

La differenza tra queste velocità angolare e quella propria dell'orbita di raggio è:
-per :

Si noti che quindi questa differenza è negativa;

-per :
.
In questo caso invece , quindi .

Se poi si innalza la velocità del corpo 1 a , lasciando invariata l'orbita, per garantire la stabilità bisogna aggiungere una forza extra che compensi l'incremento della forza centrifuga (che compare se ci si mette in un sistema non inerziale). Da queste considerazioni si ha:
.
Questo è anche il modulo della forza extra che deve essere esercitata per mantenere il corpo in moto sulla traiettoria iniziale pur avendone incrementato la velocià angolare.
Questa forza deve essere diretta verso l'interno in direzione radiale.
Per il corpo 2 invece si ha una riduzione di velocità, che comporta la necessità di una forza di controllo stavolta diretta verso l'esterno, in direzione opposta alla linea che porta da m2 al corpo di massa maggiore M.
Essa vale:

.

Queste sono considerazioni utili per il punto successivo. Se i due pianeti sono a contatto, il punto di giunzione deve muoversi a velocità . Avendo questo punto una velocità angolare allora anche i centri di massa di e si spostano alla medesima velocità angolare.
Quindi sono necessarie quelle forze di contenimento sopra analizzate per garantire l'equilibrio del sistema. Questa azione deriva dall'interazione gravitazionale tra il corpo 1 e quello 2, che dà:
.
Osservando le direttrici di si osserva che questa forza gravitazionale deve essere almeno uguale se non maggiore rispetto a e .
Dunque si impone:

e
.
Sviluppare la seconda disuguaglianza non porta a nulla di interessante (ci dice solo che il rapporto tra una massa e un quadrato di distanza deve essere maggiore di una certa quantità negativa -cosa ovvia-). La prima diseguaglianza ci offre uno spunto di riflessione più importante:


.
Semplifichiamo il termine a destra tra parentesi, ricordando che



Approssiamiamo anche qui ottenendo:
.

Questa è (o dovrebbe essere) la disuguaglianza cercata.
Se poi assumiamo che i tre corpi in gioco abbiano la stessa densità media allora le loro masse sono (approssiamandoli a delle sfere):

.

Sviluppando la disuguaglianza di sopra con queste nuove idee si arriva a:
.
Questo significa che la distanza a cui si possono formare satelliti o anelli intorno ad un certo corpo celeste è determinata dalle dimensioni e dalla massa del pianeta in questione, oltrechè dagli stessi parametri delle particelle o degli oggetti che orbitano intorno ad esso. Se però questi hanno origine comune a quella del pianete (composizione molto simile, densità praticamente identica) allora questa distanza ideale dipende solo dalle dimensioni del corpo celeste maggiore, il nostro M.

Ti consiglio di approssimare quando puoi. I risultati dei primi punti vengono più carini .
Poi è strano come hai approssimato nel punto c, di solito si usa direttamente . Non ho ben capito che procedimento hai usato tu.
Comunque per il resto va bene.

Il punto a) non dovrebbe richiedere alcuna approssimazione altrimenti avremmo che , cosa che farebbe perdere ogni differenza, seppur piccola, tra le velocità orbitali dei due corpi.

Per il punto b) provo ad usare l'approssimazione da te suggerita per , ottenendo (in modulo):


da cui:

Con successive manipolazioni si arriva a:


In modo analogo si dimostra che:
.

Per il punto c) ho fatto solo dei raccoglimenti di fattori comuni estraendo preferibilmente R o , così da avere una serie di termini frazionari come o che nelle condizioni del problema finiscono per approssimarsi a 0, togliendosi gentilmente di torno nelle uguaglianze del mio primo post. Comunque ho riportato quasi tutti i passaggi lì, quindi puoi controllare se sono mosse lecite o meno.
Ho adottato questo metodo in un problema di elettrostatica (sul quadrupolo elettrico) fatto pochi giorni fa, applicando la stessa strategia di approssimazioni e raccoglimenti, e i conti tornavano pure lì. Probabilmente le nostre sono solo strade diverse per ottenere le medesime approssimazioni, anche se usare dà sicuramente una maggiore eleganza e chiarezza al procedimento.

Stardust ha scritto:Il punto a) non dovrebbe richiedere alcuna approssimazione altrimenti avremmo che , cosa che farebbe perdere ogni differenza, seppur piccola, tra le velocità orbitali dei due corpi.

Approssimare è sempre cosa buona e giusta se la situazione lo consente, come in questo caso. e vengono di modulo uguali ma con il segno opposto.