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Un punto luminoso si muove a velocità $v_0$ verso uno specchio sferico di raggio $r$ , percorrendo il suo asse. Si dimostri che la velocità $v_i$ alla quale si muove l'immagine di questo punto è data da:
$v_i=\displaystyle-(\frac{r}{2p-r})^2v_0$

Cos'è p nella formula da dimostrare?

Presumibilmente la distanza dell'oggetto dallo specchio... Di solito $p$ è la distanza dell'oggetto, $q$ oppure $i$ dell'immagine, $f$ la distanza focale.

Dall'equazione degli specchi (p è la distanza dell'oggetto dallo specchio, q quella dell'immagine)

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{2}{r}$ , da cui

$q = \dfrac{pr}{2p-r}$ , da cui

$v_i = \dfrac{dq}{dt} = \dfrac{r(2p-r) - 2pr}{(2p-r)^2} \dfrac{dp}{dt} = -(\dfrac{r}{2p-r})^2 v_0$ .

Gauss91 ha scritto: $\dfrac{dq}{dt} = \dfrac{r(2p-r) - 2pr}{(2p-r)^2} \dfrac{dp}{dt}$ .

non capisco questo passaggio... puoi spiegarmelo please?

Se sai un po' di analisi, quella è semplicemente la chain rule: $\displaystyle \frac {dq}{dt}=\frac{dq}{dp}\cdot\frac{dp}{dt}$

Se non la sai, è un casino, ma ne si esce lo stesso

. Consideriamo un piccolo intervallo di tempo $\Delta t$ . Io voglio sapere in questo intervallo quanto vale il rapporto $\frac{\Delta q}{\Delta t}$ . Dalla formula che abbiamo trovato, sappiamo che $\displaystyle\frac{\Delta q}{\Delta t}=\Delta\left(\frac{rp}{2p-r}\right) \frac{1}{\Delta t}=\left[\left(\frac{r(p+v_0\Delta t)}{2(p+v_0\Delta t)-r}\right)-\left( \frac{rp}{2p-r}\right)\right]\frac{1}{\Delta t}$ . Poiché $\Delta t$ è piccolo (a piacere), ho che $2v_0\Delta t << 2p-r$ , quindi posso far partire le approssimazioni di quando le cose sono piccole, quindi $\displaystyle \frac{1}{2(p+v_0\Delta t)-r}\approx \frac{1}{2p-r}\left(1-\frac{2v_0\Delta t}{2p-r}\right)$ . Sostituendo, ho che

$\displaystyle \frac{\Delta q}{\Delta t}\approx\left[\left(\frac{r(p+v_0\Delta t)}{2p-r}\right)\left(1-\frac{2v_0\Delta t}{2p-r}\right)-\left( \frac{rp}{2p-r}\right)\right]\frac{1}{\Delta t}\approx \left(\frac{rv_0\Delta t}{2p-r}-\frac{2rpv_0\Delta t}{{(2p-r)}^2}\right)\frac{1}{\Delta t}=$
$\displaystyle=-\left(\frac{r}{2p-r}\right)^2v_0$
Nota che nel secondo $\approx$ ho eliminato il termine in ${\Delta t}^2$ , perché essendo $\Delta t$ piccolo è molto più piccolo di tutti gli altri. Inoltre, passando agli infinitesimi, tutti quegli $\approx$ diventano degli $=$ , quindi si possono fare questi passaggi abbastanza a cuor leggero (in fisica, almeno

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Specchio sferico e velocità

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Re: Specchio sferico e velocità

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