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Si consideri un lungo conduttore cilindrico di raggio R contenente una lunga cavità cilindrica di raggio a<R. Gli assi dei due cilindri sono paralleli e separati da una distanza b. Nel conduttore passa una correne i, distribuita uniformemente.
Si dimostri che il campo magnetico nel centro della cavità è dato da
.
Si dimostri inoltre che il campo magnetico nel centro della cavità è uniforme.

Per il principio di sovrapposizione considero il campo magnetico generato all'interno della cavità come differenza fra il campo magnetico generato come se in essa passasse una certa corrente, tale che la densità di corrente sia pari a quella del resto del cilindro, ed il campo generato nel caso in cui la corrente nella cavità scorresse nel verso opposto.
La densità di corrente è
Consideriamo quindi come se nella cavità passasse una corrente nella stessa direzione che nel resto del cilindro. Il campo ad una distanza x dal centro del conduttore cilindrico è dato da . Dove è la corrente concatenata. Perciò
.

Considerando invece che nella cavità ci sia una corrente che scorre nel verso contrario, detta y la distanza dal centro della cavità si ha, usando sempre la legge di Ampere, che

Il campo magnetico risultante in punto è quindi dato da

Che è costante, ed ha come modulo


Sperando di non aver fantasticato troppo con l'uso dei vettori

Perdona l'ignoranza, cos'è il principio di sovrapposizione?

Il principio di sovrapposizione ti dice semplicemente che il sistema in cui nel buco scorrono due qualsiasi correnti di uguale intensità ma di verso contrario (che se tu le vai a sommare si annullano) è equivalente a considerare il sistema in cui nel buco non scorre corrente. Uno dei tanti vantaggi che ciò comporta è per esempio la notevole semplificazione che fa a questo problema.

Per fare un'altro esempio, se si cerca di calcolare il campo elettrico generato da una sfera a densità di carica uniforme che ha però una cavità sferica non concentrica, il principio di sovrapposizione ci permette di calcolarlo come somma fra il campo elettrico come se tutta la sfera avesse la stessa densità di carica (compresa la cavità) e quello generato dalla cavità con però densità di carica uguale ma di segno opposto. In questo caso, al posto delle correnti, si è utilizzato il fatto che una carica nulla può essere considerata come la somma di due cariche uguali ma contrarie.
Spero che si capisca.

Si può aggiungere che il principio di sovrapposizione vale in tutti quei casi in cui le equazioni che danno i campi a partire dalle sorgenti sono lineari. Ad esempio per il campo elettrico:



Ed il campo elettrico è lineare rispetto a . Quindi se si ha ed è il campo in presenza della sola sorgente , il campo elettrico risulta .

(una funzione è lineare se per ogni , reali e per ogni , nel suo dominio)

Perfetto, grazie mille!!