Forum OLIFIS

Propongo questo problema che ho trovato sul forum di matematica nella sezione di fisica... Purtroppo nessuno si fa vivo per darmi un piccolo aiuto visto che dopo molti tentativi, ancora non riesco ad avvicinarmi alla soluzione
Se qualcuno è interessato potrebbe darmi un piccolo aiutino per iniziare (vorrei provare a farlo in parte da solo).

Abbiamo una corda (inestendibile, omogenea... insomma ideale) di lunghezza e massa , e ne fissiamo gli estremi a due chiodi posti alla stessa altezza e distanti fra loro , con . Si suppone che la corda sia in equilibrio. Determinare con le opportune approssimazioni:
1) La differenza fra l'altezza dei chiodi e l'altezza del punto medio della corda.
2) L'energia potenziale gravitazionale della corda (ponendo potenziale nullo in corrispondenza dell'altezza del punto medio della corda).
3) L'intensità e l'angolo rispetto all'orizzontale della forza esercitata da ciascun chiodo.

[fonte: kalu]

quando si chiedono le " dovute approssimazioni " non mi rendo mai conto fino a che punto vuole che si approssimi
comunque ho provato a dare una soluzione considerando che per s << 2L la corda tra i due chiodi è " poco" curva e si può quindi ( almeno ) approssimare ad un arco di parabola poichè qualunque sia il grafico della funzione, nel tratto tra i due chiodi può essere considerata coincidente con i primi termini del suo sviluppo di taylor.
da qui il problema diventerebbe piuttosto semplice, purtroppo ancora non ho imparato a scrivere con tex se ti interessa posto una foto della mia risoluzione; ma il problema principale è che ho paura che l'approssimazione che ho fatto di considerare la corda un arco di parabola sia un po esagerata...

Guarda non saprei su internet ci sono degli approfondimenti sulla curva catenaria ma mi sa che si possono evitare grazie alle "dovute approssazioni"
Se riesci posta l'immagine
Come l'hai fatto? Oltre all'integrale di linea (cosa che non riesco a risolvere) non ho in mente altre strategie

Dato che non si capisce quali siano le dovute approssimazioni, vi tocca iniziare dal problema generale...

il file è troppo pesante
riassumo la mia soluzione omettendo i passagi solo di calcolo tanto quelli puoi vederteli tu, praticamente scrivo i " punti cruciali " del mio svolgimento.
1) allora la parabola può essere parametrizzata e va nella forma P(x) = ( x , a x^2 - h ) ; i parametri si determinano imponendo il passagio per il punto ( L-s , 0 ) e visto che la corda è inestendibile imponendo che la lunghezza dell'arco è 2L.
l'integrale di linea l'ho risolto considerando che la funzione integranda che è rad( 1 + 4 a^2 x^2 ) può essere approssimata a 1 + 2 a^2 x^2 poichè per s<< L , a è molto piccolo e quindi 4 a^2 x^2 << 1.
svolgendo i calcoli viene h= rad [3/2 s( L-s ) ]
2) la densità lineare è p=m/2L ; la derivata dell'energia potenziale rispetto alla lunghezza dl di un tratto di filo é:
dU/dl = pg (h + a x^2 -h ) e visto che dl = 1 + 2 a^2 x^2 dx allora dU = p g a x^2 ( 1+ 2 a^2 x^2) dx
integrando tra -(L-s) e L-s e sostituendo ad a l'espressione trovata nel punto 1 si ottiene U= mg/L [ h/3 (L-s) + 2/5 h^3 /(L-s) ]
3) la forza applicata dai chiodi ha la direzione tangenziale alla corda nel punto dove essi sono fissati ed è diretta verso l'alto, calcolando la derivata della parabola in quel punto di ottiene ( detto b l'angolo formato con l'orizzontale perchè la tastiera non ha lettere greche ) b= arctg ( 2h/ (L-s) ).
la somma delle due forze deve essere uguale a mg, visto che le componenti parallele all'orizzontale sono uguali e contrarie si ha 2F sen b = mg quindi F= mg/ (2senb)

Trasformare quella funzione integranda era il passaggio che non mi era venuto in mente
Bravo!!
Posto i risultati che ho trovato nella fonte che sono i tuoi se ci si concede qualche piccola altra approssimazione:









Ora sotto il consiglio di pigkappa tentiamo il caso generale... Sto tentando di produrre qualcosa... Proverò a postare i miei risultati

Allora:
su ogni tratto infinitesimo di corda ds agiscono tre forze:
una tensione sul suo capo sinistro ;
una tensione sul suo capo destro ;
la forza peso .
Sappiamo che la risultante di queste tre forze è nulla.
Le componenti orizzontali delle due tensioni pertanto sono in modulo uguali ;
la differenza delle tensioni verticali è uguale alla forza peso: ;
dove con abbiamo inteso la densità lineare della corda.
Dividendo entrambi i membri per otteniamo:
;
ma ossia e in ogni punto .
Sostituendo abbiamo:


Questa equazione differenziale è risolta magicamente da:
.

Credo che però per ricavare ponendo l'integrale di linea uguale a e sia necessario uno studio numerico dell'equazione.

l'impostazione del problema è ottima bravissimo ho capito perchè hai vinto
forse un po troppo diretta e si incappa in calcoli assurdi anche se per ora non mi viene in mente un impostazione più " furba " per afforntare il caso generale infatti prima di trovare quella soluzione approssimata avevo pensato anchio a impostarlo considerando l'equilibrio delle tensioni, ma visto che le componenti sono variabili da punto a punto mi sono accorto subito che venivano una marea di calcoli e ho cercato la " dovuta approssimazione " .
poi non sono tanto convinto che sia uguale a visto che che varia al variare di x quindi si incorrerebbe in altre derivate che complicherebbero ulteriormente i calcoli.
anche a me piace sempre trattare i problemi dal caso piu generale possibile però credo che chi ha scritto questo problema non lo abbia scritto per questo altrimenti avrebbe dato qualche numero per poter approssimare all'interno del caso generale perche con il testo dato del problema credo che l'unico modo per risolverlo sia impostarlo con l'approssimazione...

No infatti il problema chiedeva di tener conto delle approssimazioni che hai usato anche tu
Comunque io con i differenziali faccio tutto molto a naso visto che non ho mai studiato veramente analisi... Guardando esercizi e cose qua e lá o studiando sull'halliday ho semicapito come funzionano... Poi va sottolineato che l'equazione differenziale non l'ho risolta io ma ho lasciato il compito al computer
Inoltre leggendo qua e lá avevo visto che l'equazione catenaria era descritta dal coseno iperbolico quindi sapevo giá dove sarebbero andati a parare i calcoli

a infatti volevo chiederti come avevi risolto l'equazione differenziale dato che era in una forma assolutamente lontana dalle " classiche " che vengono riportate nei libri