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Si consideri un sistema di N corpi legato gravitazionalmente, con energia totale . Si ponga l'origine delle coordinate nel centro di massa del sistema e l'asse avente direzione e verso del momento angolare del sistema. Sia il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse . Sia l'energia potenziale del sistema. Dimostrare che:

(disuguaglianza di Easton)


Suggerimento: potrebbe essere utile cercare qualche altra disuguaglianza preliminare.

In attesa che qualcuno dimostri la disuguaglianza generalizzato agli N corpi, si potrebbe iniziare a dimostrarla nel caso ristretto di due corpi. In questo caso per la dimostrazione potrebbero essere sufficienti soltanto le nozioni di gravitazione senza aver bisogno di altre disuguaglianze matematiche.

Siccome E<0, per la disuguaglianza fra media artimetica e geometrica si ha

Siano i momenti d'inerzia delle singole masse rispetto all'asse z e siano le loro velocità angolari rispetto a z. Allora

Se i moti avvengono su un piano e le sono costanti, allora le velocità radiali sono nulle e vale l'uguaglianza.
Moltiplicando per I = si ha

Per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

dove l'uguaglianza vale quando le sono tutte uguali. Dunque



Il secondo termine è una costante del moto, e variano rispettivamente con il quadrato e l'inverso del quadrato delle dimensioni del sistema.
Per moti su un piano, si ha il segno di uguale quando il sistema ruota come un corpo rigido attorno al centro di massa. Infatti per il teorema del viriale il valore medio di K è uguale a , ma in questo caso K è costante e quindi .
Per N=2 si ha sempre l'uguaglianza. Qual è l'unica dispozione di 3 corpi non allineati per cui ciò avviene?

EDIT: corretto un segno e aggiunte ultime righe. L'ultima domanda è un vecchio problema IPhO... con gli anni hanno un po' cambiato stile