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Sia $\mu$ la massa di una particella. Indichiamo con $\vec r$ la posizione della particella rispetto all'origine; essa è soggetta ad una forza:

$\displaystyle \vec F (\vec r) = - \gamma \frac{\hat r}{r^2}$ .

Chiamiamo $E$ l'energia della particella (con l'energia potenziale nulla all'infinito), $\vec L$ il suo momento angolare rispetto all'origine. Definiamo il vettore:

$\displaystyle \vec N = \dot{ \vec r} \times \vec L - \gamma \hat r$ .

Dove $\dot{\vec r}$ è la velocità della particella.

1.) Dimostrare che $\vec N$ è costante nel tempo.
2.) Dimostrare che:

$\displaystyle N^2 = \gamma^2 + \frac{2 E L^2}{\mu}$

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C'è da fare qualche conto, ma se si trova il modo giusto per farlo non è niente di drammatico.

1. Intanto la forza ha direzione radiale, quindi il suo momento è sempre nullo. Per cui il momento angolare si conserva, ossia $\dot{\vec{L}}=0$ . Ora, ho che $\dot{\vec{N}}=\ddot{\vec{r}}\times \vec{L}+\dot{\vec{r}}\times \dot{\vec{L}}-\gamma \frac{d\hat{r}}{dt}$ . Ora, poiché $|\hat{r}|$ è costante e unitario, vale che la derivata di quel vettore rispetto al tempo ha come modulo la velocità angolare e come direzione e verso gli stessi della velocità tangenziale $v_\theta$ , quindi $\frac{d\hat{r}}{dt}=\vec{\omega}\times \hat{r}$ . Per cui $\displaystyle{\dot{\vec{N}}=\ddot{\vec{r}}\times \vec{L}-\gamma(\vec{\omega}\times \hat{r})=-\frac{\gamma}{\mu r^2}\left(\hat{r}\times \vec{L} - \mu r^2(\hat{r}\times\vec{\omega})\right)=-\frac{\gamma}{\mu r^2}\left(\hat{r}\times \vec{L} - \hat{r}\times\mu r^2\vec{\omega}\right)=-\frac{\gamma}{\mu r^2}\left(\hat{r}\times \vec{L} - \hat{r}\times\vec{L}\right)=0}$ , da cui mi segue che $\vec{N}$ è costante.
2. Con l'energia potenziale nulla all'infinito, ho che $E=-\frac{\gamma}{r}+\frac{\mu v^2}{2}$ . Inoltre $|\vec{L}|=\mu v_\theta r\Rightarrow L^2=\mu^2{v_\theta}^2r^2$ . Ora:
$\displaystyle |\vec{N}|^2=|\dot{\vec r}\times \vec L -\gamma\hat{r}|^2=|\dot{\vec r}\times \vec L|^2+\gamma^2-2\gamma( \dot{\vec r}\times \vec L)\cdot \hat{r}$
Ora, un mostro alla volta:
- Poiché $\vec{L}=r\times \mu\dot{\vec r}$ , il vettore $\vec L$ è perpendicolare a $\dot{\vec r}$ , quindi $|\dot{\vec r}\times \vec L|^2=(\mu vv_\theta r)^2=\mu^2v^2{v_\theta}^2r^2$
- Nel prodotto scalare $(\dot{\vec r}\times \vec L)\cdot \hat{r}$ , quello che ci interessa è la componente radiale di $\dot{\vec r}\times \vec L$ . Poiché $\vec L$ è perpendicolare al piano formato da $\vec r$ e $\dot{\vec r}$ , la componente radiale di quel prodotto vettore sarà la stessa di $v_\theta\times \vec L$ , ossia $\mu{v_\theta}^2r$ . Poiché il verso viene concorde a $\hat r$ , quel prodotto scalare vale proprio $\mu{v_\theta}^2r$ , per cui $2\gamma( \dot{\vec r}\times \vec L)\cdot \hat{r}=2\gamma\mu{v_\theta}^2r$ .
Quindi, finendo il conto:
$\displaystyle N^2=\gamma^2+\mu^2v^2{v_\theta}^2r^2-2\gamma\mu{v_\theta}^2r=\gamma^2+(2\mu {v_\theta}^2r^2)\left(-\frac{\gamma}{r}+\frac{\mu v^2}{2}\right)=$
$\displaystyle =\gamma^2+2\frac{\mu^2{v_\theta}^2r^2}{\mu}\left(-\frac{\gamma}{r}+\frac{\mu v^2}{2}\right)=\gamma^2+\frac{2EL^2}{\mu}$

Ok, però per il secondo punto si fa un po' prima così (e ci si risparmia di scrivere le cose in coordinate):

$N^2 = (\dot{\vec r} \times \vec L - \gamma \hat r)^2 = \gamma^2 + (\vec v \times \vec L)^2 - 2 \gamma (\vec v \times \vec L) \cdot \hat r = \gamma^2 + v^2 L^2 - 2 \gamma (\hat r \times \vec v) \cdot \vec L = \gamma^2 + v^2 L^2 - 2 \gamma (\frac{1}{\mu r} \vec L) \cdot \vec L = \gamma^2 + L^2 (v^2 - \frac{2 \gamma}{\mu r})$

Da cui si trova quella formula.

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Vettore costante in campo centrale.

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