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Due sfere e aventi rispettivamente masse ed sono poste l'una sull'altra in modo che si trovi su ed in modo tale che il sistema si trovi sospeso ad altezza h rispetto al terreno (misurata a partire dall'estremo inferiore della sfera ) , come in figura.

Il diametro di valga .
A partire da questa situazione le due sfere sono lasciate cadere.

Supponendo che:
(i)
(ii)le due sfere inizialmente siano separate da una distanza che può essere trascurata.
(iii) Tutti gli urti siano perfettamente perfettamente elastici ed avvengano dunque in un tempo trascurabile
(iv) si possono trascurare tutti i tipi di attrito

(a)Quale altezza raggiungerà la sfera urtando con ?

Si considerino ora le n sfere aventi massa (con ) impilate l'una sull'altra come in figura.

L'estremo inferiore di dista h dal pavimento.L'estremo inferiore di dista dal pavimento. Le sfere sono lasciate cadere.

(b) Quale altezza massima in funzione di raggiungerà la sfera in cima dopo la serie di urti tra le sfere? Si facciano le stesse approssimazioni fatte nel punto (a).

Domanda bonus:
(c) Se , qual è il minimo numero di sfere necessarie affinchè la sfera n-esima raggiunga un altezza di almeno ? Si assuma in ogni punto che le sfere urtino elasticamente , che l'attrito viscoso sia trascurabile. Infine si assuma anche che sia trascurabile.

Allora, per il primo punto basta risolvere il sistema, come per ogni urto elastico, tra conservazione della quantità di moto e dell'energia. Da cui ci ricaviamo che la velocità della seconda pallina è . Da cui risolviamo la legge del moto, da cui .
Come possiamo notare, quindi, la velocità della pallina di massa minore coinvolta nell'urto è un multiplo di . Per trovare la soluzione al punto (b), invece, è necessario risolvere lo stesso sistema ponendo , dove , e modificando allo stesso modo l'equazione che descrive la conservazione dell'energia. A questo punto ci troveremo che , con e (che si riferisce al caso dell'urto tra il pavimento e la prima pallina). L'altezza massima raggiunta dalla pallina sarà quindi descritta come .
Per quanto riguarda il punto (c) è sufficiente utilizzare l'equazione appena trovata, quindi: . Troviamo perciò . Essendo possibili solo i valori , ci accorgiamo che il numero minimo di palline è .
Sono andato un po' di fretta quindi spero d'essere stato abbastanza chiaro e soprattutto di non aver sbagliato conti!

La soluzione è corretta. Problema preso dal Morin, che a quanto pare apprezziamo molto entrambi

Nel caso di 2 sole palline, cosa succede se B1 mentre sta cadendo è anche in rotazione attorno al suo asse e c'è un coefficiente di attrito noto tra B1 e B2?

(per ora non ho pensato a cosa si può dire davvero, fate voi!)

Pigkappa un aiutino?
Attendo con curiosità il il problema 10

Oltre alla forza di contatto verticale tra le due palline, c'è una forza d'attrito a lei perpendicolare. Le due forze sono proporzionali. Perciò la variazione di velocità nelle due direzioni sono legate in modo prevedibile. Purtroppo, l'energia non si conserva più, e bisogna pensare se la soluzione è determinata o bisogna introdurre qualche parametro in più.

Ma la rotazione della sfera B1 non dovrebbe semplicemente dare una rotazione concorde alla sfera B2? O meglio... Perchè non succede quello che ho appena detto?

Certamente alla fine ruotano entrambe...

Ma la sfera B1 sta ruotando attorno al suo asse verticale? Se così fosse la sfera B1 non dovrebbe avere una velocità traslazionale diretta solo verso l'alto?

Ops, hai ragione Simone, scusate se non ho più pubblicato il 10° problema, ma pensavo che prima di passare al prossimo si sarebbe risolta la "complicazione" che ha proposto Pigkappa a questo (e magari anche gli altri due problemini, o perlomeno io ci darò un'occhiata appena ho il tempo necessario ). Ad ogni modo l'asse di rotazione penso s'intenda orizzontale, in modo che le due sfere striscino tra loro per un "tratto" , quindi si può scrivere un sistema di equazioni (anche se al momento non riesco a scriverne un numero sufficiente a meno di introdurre qualche parametro )....