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Ciao a tutti! Mi ė già successo in tre problemi di avere espressa la velocità in funzione dello spazio percorso e di dover ricavare le leggi orarie!

Esempio appena inventato
$v(x) = 3x^2$
Trovo $x(t)$

Idee?

L'unica idea che mi è venuta (sbagliata purtoppo) è questa:
Inverto
$v=3x^2$
trovando che
$x=\sqrt{\frac{v}{3}}$

Ora dato che $dt=\frac{dx}{dv}$ ricavo che (forse è qui l'errore)
$t = \frac{1}{2\sqrt{\frac{v}{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{v}}$
Invertendo trovo la velocità in funzione del tempo cioè
$v=\frac{3}{4t^2}$
Ora derivando rispetto al tempo trovo lo spazio in funzione del tempo
$x=-\frac{3}{2t^3}$

Verifico, calcolo per $t = 1$
$x(1) = -\frac{3}{2}$
$v(1) = \frac{3}{4}$
Ora calcolo $v$ per $x = -\frac{3}{2}$ a partire dall'eq di partenza
$v(-\frac{3}{2})=\frac{27}{4}$

Per cui dato che che le due velocità ottenute sono diverse ne consegue che ho sbagliato qualcosa con i differenziali! La parola agli esperti!

Dobbiamo risolvere questa equazione differenziale $\dot x=3x^2.$
Riscriviamo come $x^{-2}dx=3dt.$
Integrando ambo i membri otteniamo $-x^{-1}=3t+c \rightarrow x=-\frac {1} {3t+c}$

Eh no! La velocità è la derivata prima dello spazio al tempo non credo sia si possa fare quello che hai fatto.

Ripensandoci in effetti il tuo risultato torna!

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Velocità in funzione dello spazio

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