Funzione particolare

Eagle · Messaggio da **Eagle** » 9 giu 2010, 19:57

L'espressione $\displaystyle{x=A\cos{(\omega t + \phi)}}$ è la soluzione di molte equazioni differenziali. Mi sarebbe davvero utile se qualcuno con più esperienza e conoscenze in merito potesse chiarirmi le idee sulla funzione in sé, sui termini che la compongono e sul suo significato geometrico.

P.S: Ringrazio in anticipo tutti gli uomini di buona volontà (

) che risponderanno ai precedenti punti

.mg · Messaggio da **.mg** » 9 giu 2010, 20:56

$A$ è detta ampiezza, perché la funzione può assumere valori compresi fra -A e +A;
$\omega$ è la pulsazione (vale la relazione $\omega = 2\pi/T = 2\pi\nu$ dove $T$ è il periodo della funzione e $\nu=1/T$ la sua frequenza);
$\phi$ è la fase (o forse il nome "sfasamento" è più autoesplicativo), indica quanto la funzione "dista" (cioè quanto è in ritardo o anticipo) dalla funzione che ha fase nulla (cioè $A\cos(\omega t)$ ).

Non so quanto altro ci possa essere da dire (non so neanche se ti ho detto qualcosa di nuovo). Qualche altra informazione la puoi trovare qui e qui (in inglese)

Messaggio da **Ippo** » 10 giu 2010, 0:52

provo a darti un'idea di dove compaia quella funzione e perché.
Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, cioè scritture del tipo $x'' +2 a x' +b^2x=0$ con a e b numeri reali fissati, compaiono abbastanza spesso in fisica, sostanzialmente perché F=ma spesso si traduce in un'equazione di questo tipo (per esempio ogni volta che appare un'accelerazione hai un termine in x''; ogni attrito viscoso ti dà un termine in x'; ogni forza di richiamo elastica ti dà un termine in x) e hanno un insieme di soluzioni che è generato (mediante somme e prodotti per scalari) da due soluzioni esponenziali: $x_1(t)=e^{\alpha_1 t}$ e $x_2(t)=e^{\alpha_2t}$ dove gli $\alpha_{1,2}$ sono le radici dell'equazione $\alpha^2+2a\alpha+b^2=0$ ovvero $\alpha_{1,2}=-a \pm \sqrt{a^2-b^2}$ .
Se si ha $a^2<b^2$ , allora le soluzioni sono dei numeri complessi: $\alpha_{1,2}=-a \pm i \sqrt {b^2-a^2}$ e qui entra in gioco un bel risultato di analisi matematica: per ogni $\theta$ reale si ha $e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta$ . Dimostrare questo ci porterebbe un po' troppo fuori però.
Allora le nostre soluzioni diventano:
$x_{1,2}(t)=e^{-at} \left( \cos \sqrt{b^2-a^2}t \pm i \sin \sqrt{b^2-a^2}t\right)$
Ora, la grandezza fisica che vogliamo è un numero reale, quindi prendiamo due combinazioni reali delle soluzioni: ${x_1+x_2 \over 2}$ e ${x_1-x_2 \over 2i}$ , che sono nient'altro che la parte reale e la parte immaginaria.
Così abbiamo come soluzione generale:
$x(t)=e^{-at}(A \cos \sqrt{b^2-a^2}t+B \sin \sqrt{b^2-a^2}t)$
che possiamo modificare in modo furbo usando questo trucchetto (detto $\sqrt{b^2-a^2}=\omega$ per comodità):
$A \cos \omega t+B \sin \omega t=\sqrt{A^2+B^2}({A \over \sqrt{A^2+B^2}}\cos \omega t +{B \over \sqrt{A^2+B^2}}\sin \omega t)=$
$=\sqrt{A^2+B^2}(\cos \phi \cos \omega t+\sin \phi \sin \omega t)$ dove chiamiamo $\phi$ l'arcoseno di $B/\sqrt{A^2+B^2}$
A questo punto riconsciamo in parentesi la formula di addizione per il coseno e scriviamo in conclusione
$x(t)=C e^{-at}\cos (\sqrt{b^2-a^2}t-\phi)$

Se siamo fortunati e il nostro sistema non presenta attriti viscosi (a=0) lo smorzamento esponenziale scompare e abbiamo semplicemente
$x(t)=C\cos (b t+\phi)$
che è appunto la funzione di cui chiedevi, a meno di rinominare i coefficienti.

Funzione particolare

Funzione particolare

Re: Funzione particolare

Re: Funzione particolare