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Problema.) Un pianeta di massa orbita intorno ad una stella di massa . Si può dimostrare che la velocità orbitale del pianeta può essere scritta come



dove è un vettore costante e è un vettore di modulo costante, la cui direzione è sempre perpendicolare a quella del raggio vettore .
1.) Mostrare che deve essere ed indicare la direzione del vettore costante .
2.) Determinare l'eccentricità ed il semiasse dell'orbita del pianeta in termini di e .
3.) Calcolare il valor medio temporale del vettore .


Commento.) Questo esercizio è stato dato ad un esame all'università di Pisa. La difficoltà consisteva nel fatto che si avevano circa 20 minuti per svolgerlo (nel senso che c'erano due problemi di lunghezza simile, uno dei quali era questo, e si avevano 45 minuti in totale).

Mettiamo l'orbita ellittica del pianeta nel solito riferimento cartesiano, con O nel centro dell'ellisse.
dice che il fuoco dell'orbita è nel centro della stella, che mettiamo nel fuoco . Il pianeta gira nel verso positivo (antiorario).

1.) disegnando un paio di volte il pianeta in punti diversi, ed assegnandogli una velocità tangenziale sempre costante, si vede che deve essere rivolto nel verso negativo delle : se avesse componenti anche su , all'afelio e al perielio la velocità risultante non sarebbe tangente all'orbita; inoltre, il fatto che all'afelio è rivolta verso l'alto indica che

2.) Conservazione del momento angolare ai due apsidi:

porta a

Facciamo lo stesso per l'energia



dove c'è si può scrivere

mettendo come trovato prima si arriva a

3.)(quì la cosa è molto a naso...)
considerato che il pianeta, dopo un giro, in media "non si muove"...
il valor medio di è

Giusto!